À propos de la calculatrice de décomposition QR de matrice
Ceci est une calculatrice de décomposition QR de matrice en ligne et gratuite avec une description complète, détaillée et étape par étape des solutions, pouvant effectuer des opérations sur des matrices jusqu'à 99x99 de taille avec des éléments de matrice de ce type : nombres décimaux, fractions, nombres complexes, variables.
Pour démarrer le calcul, vous devez d'abord saisir la taille de la matrice dans le champ de saisie que vous trouverez en haut de l'écran. Vous pouvez également choisir la méthode de calcul souhaitée.
Un peu plus bas, vous trouverez une fenêtre matricielle dans laquelle vous devez saisir les éléments de la matrice à l'aide du clavier. Le panneau de contrôle de la matrice se trouve également ici, ce qui simplifie le travail avec les matrices et contient les éléments de contrôle suivants:
- Le premier élément permet d'agrandir la fenêtre de la matrice. Cela peut être particulièrement utile dans les cas où vous devez effectuer des calculs avec des matrices très grandes qui ne tiennent pas complètement. Si la matrice n'est toujours pas visible après avoir agrandi la fenêtre, vous pouvez modifier l'échelle de la matrice à l'aide des boutons + / -;
- Le deuxième élément permet de copier la saisie de la matrice dans le tampon de mémoire. Cela peut être utile dans les cas où vous utilisez souvent la même matrice pour les calculs, ou si vous avez besoin de déplacer des matrices entre les opérations;
- Et le dernier élément insère la matrice précédemment copiée, ce qui vous permet d'accélérer le processus de saisie de la matrice en quelques clics seulement, au lieu de le faire manuellement;
Plus bas, vous trouverez une barre d'outils qui vous permet de personnaliser la calculatrice et de faciliter son utilisation. Elle est divisée visuellement en trois parties, chacune étant responsable des fonctionnalités suivantes:
- La première vous permet de sélectionner le format numérique lorsque le résultat de la solution est affiché. Vous pouvez également désactiver les commentaires sur la résolution du problème si vous avez déjà compris comment le résoudre, et vous utilisez la calculatrice pour accélérer ou vérifier vos propres calculs. Vous pouvez également désactiver complètement la solution étape par étape si vous n'avez besoin que du résultat de la solution;
- Le second contient des boutons qui vous permettent de changer le type de champ de saisie de la matrice, d'effacer ses éléments ou la matrice entière, et le plus grand bouton avec un signe égal, qui vous amènera à l'écran avec la solution du problème. Tous ces boutons sont dupliqués par des touches du clavier. Pour savoir quelle touche du clavier appuyer, il suffit de survoler l'un des boutons et une infobulle apparaîtra avec le nom de la touche. Vous pouvez également utiliser les touches fléchées de votre clavier pour déplacer le curseur entre les champs de saisie de la matrice;
- La dernière vous permet de choisir le nombre de chiffres après la virgule pour arrondir les nombres non entiers. Vous pouvez également voir immédiatement un exemple de l'apparence des fractions arrondies.
Qu'est-ce que la décomposition QR d'une matrice ?
La décomposition QR est la factorisation d'une matrice donnée en deux matrices, l'une étant une matrice orthonormale et l'autre une matrice triangulaire supérieure. Le produit de ces deux matrices donne la matrice d'origine. La décomposition QR peut être appliquée aux matrices dans lesquelles le nombre de colonnes n'est pas supérieur au nombre de lignes.
Comment effectuer la décomposition QR d'une matrice en utilisant Gram-Schmidt ?
Il faut d'abord appliquer le procédé de Gram-Schmidt (orthogonalisation et orthonormalisation) aux colonnes de la matrice donnée. Les vecteurs résultants seront les colonnes de la matrice orthonormale. Ensuite, pour obtenir la matrice triangulaire supérieure, il faut prendre la transposée de la matrice orthonormale et la multiplier par la matrice d'origine.
Comment effectuer la décomposition QR d'une matrice en utilisant les réflexions de Householder ?
Commencez par calculer le vecteur de réflexion de Householder pour chaque colonne de la matrice donnée. Après avoir appliqué la transformation de Householder à toutes les colonnes d'une matrice donnée, la matrice transformée résultante sera une matrice triangulaire supérieure. La matrice orthogonale est obtenue en multipliant toutes les matrices de Householder obtenues à chaque étape du calcul de la matrice triangulaire supérieure.
Comment effectuer la décomposition QR d'une matrice en utilisant la rotation de Givens ?
On peut utiliser les rotations de Givens pour mettre à zéro tous les éléments situés en dessous de la diagonale principale d'une matrice donnée, ce qui nous donne une matrice triangulaire supérieure. Durant le calcul de la matrice triangulaire supérieure à chaque itération, on calcule la matrice G pour mettre à zéro les éléments situés en dessous de la diagonale principale. Pour obtenir une matrice orthonormale, il faut multiplier toutes les matrices transposées G.
Sources
