פירוק לפי:
0
0
0
0
תצוגת מספר
הערות לפתרון
ללא תיאור (תשובה בלבד)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
כיצד למצוא דטרמיננטה בעזרת מונטנט (אלגוריתם בארייס)
שיטת מונטנט (מכונה גם אלגוריתם בארייס) היא גרסה שומרת-שלם של חיסול גאוסי. בכל שלב, הפיבוט של האיטרציה הקודמת מחלק את הערכים החדשים בדיוק, וכך משמרים כל תוצאה ביניים כמספר שלם. הדטרמיננטה היא הפיבוט הסופי.
דוגמה פתורה מונטנט (בארייס) (5×5)
רשום את המטריצה הראשונית
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
הפחת את המטריצה
A
לצורה מדורגת לפי שיטת מונטנט (אלגוריתם Bareiss), ואז האיבר האחרון על האלכסון הראשי יהיה שווה לדטרמיננט של המטריצה
A
;
1)
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;2)
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;3)
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a הוא איבר במטריצה A;p
p הוא איבר הפיבוט הנוכחי;2
איטרציה 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
באיטרציה הראשונה, איבר הפיבוט הקודם תמיד שווה ל-1:
p0
=
1
;
איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A0
) עם אינדקסים
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
חשב את המטריצה הבאה (
A1
) על סמך המטריצה הקודמת (
A0
);
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;
רשום את המטריצה הראשונית
A1
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A1
=
3
0
0
0
0
1
x
x
x
x
2
x
x
x
x
0
x
x
x
x
1
x
x
x
x
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
;
כאשר:
p0
הוא איבר הפיבוט הקודם;
p1
הוא איבר הפיבוט הנוכחי;
a0
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמת;
a1
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחית;
i
הוא מספר השורה;
j
הוא מספר העמודה;
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
a1
0
2,2
=
a0
0
2,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
2,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
a1
0
2,3
=
a0
0
2,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
2,1
p0
=
0
*
3
-
2
*
1
1
=
-2
;
a1
0
2,4
=
a0
0
2,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
2,1
p0
=
2
*
3
-
0
*
1
1
=
6
;
a1
0
2,5
=
a0
0
2,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
2,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
1
1
=
2
;
a1
0
3,2
=
a0
0
3,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
2
1
=
1
;
a1
0
3,3
=
a0
0
3,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
3,1
p0
=
5
*
3
-
2
*
2
1
=
11
;
a1
0
3,4
=
a0
0
3,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
2
1
=
3
;
a1
0
3,5
=
a0
0
3,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
3,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
2
1
=
-2
;
a1
0
4,2
=
a0
0
4,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
4,3
=
a0
0
4,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
4,1
p0
=
1
*
3
-
2
*
0
1
=
3
;
a1
0
4,4
=
a0
0
4,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
4,1
p0
=
3
*
3
-
0
*
0
1
=
9
;
a1
0
4,5
=
a0
0
4,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
5,2
=
a0
0
5,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
5,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
1
1
=
-1
;
a1
0
5,3
=
a0
0
5,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
5,1
p0
=
2
*
3
-
2
*
1
1
=
4
;
a1
0
5,4
=
a0
0
5,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
5,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
1
1
=
3
;
a1
0
5,5
=
a0
0
5,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
5,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
הסתר תיאור
3
איטרציה 2איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A1
) עם אינדקסים
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
חשב את המטריצה הבאה (
A2
) על סמך המטריצה הקודמת (
A1
);
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-
p2
;
רשום את המטריצה הראשונית
A2
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
x
-2
x
x
x
x
6
x
x
x
x
2
x
x
x
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
;
כאשר:
p1
הוא איבר הפיבוט הקודם;
p2
הוא איבר הפיבוט הנוכחי;
a1
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמת;
a2
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחית;
i
הוא מספר השורה;
j
הוא מספר העמודה;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
a2
0
1,3
=
a1
0
1,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
1,2
p1
=
2
*
11
-
-2
*
1
3
=
8
;
a2
0
1,4
=
a1
0
1,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
1,2
p1
=
0
*
11
-
6
*
1
3
=
-2
;
a2
0
1,5
=
a1
0
1,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
1,2
p1
=
1
*
11
-
2
*
1
3
=
3
;
a2
0
3,3
=
a1
0
3,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
3,2
p1
=
11
*
11
-
-2
*
1
3
=
41
;
a2
0
3,4
=
a1
0
3,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
3,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
1
3
=
9
;
a2
0
3,5
=
a1
0
3,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
3,2
p1
=
-2
*
11
-
2
*
1
3
=
-8
;
a2
0
4,3
=
a1
0
4,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
4,2
p1
=
3
*
11
-
-2
*
6
3
=
15
;
a2
0
4,4
=
a1
0
4,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
4,2
p1
=
9
*
11
-
6
*
6
3
=
21
;
a2
0
4,5
=
a1
0
4,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
4,2
p1
=
6
*
11
-
2
*
6
3
=
18
;
a2
0
5,3
=
a1
0
5,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
5,2
p1
=
4
*
11
-
-2
*
-1
3
=
14
;
a2
0
5,4
=
a1
0
5,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
5,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
-1
3
=
13
;
a2
0
5,5
=
a1
0
5,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
5,2
p1
=
11
*
11
-
2
*
-1
3
=
41
;
הסתר תיאור
4
איטרציה 3איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A2
) עם אינדקסים
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
חשב את המטריצה הבאה (
A3
) על סמך המטריצה הקודמת (
A2
);
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-
p3
;
רשום את המטריצה הראשונית
A3
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
x
x
9
x
x
x
x
-8
x
x
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
;
כאשר:
p2
הוא איבר הפיבוט הקודם;
p3
הוא איבר הפיבוט הנוכחי;
a2
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמת;
a3
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחית;
i
הוא מספר השורה;
j
הוא מספר העמודה;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
a3
0
1,4
=
a2
0
1,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
1,3
p2
=
-2
*
41
-
9
*
8
11
=
-14
;
a3
0
1,5
=
a2
0
1,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
1,3
p2
=
3
*
41
-
-8
*
8
11
=
17
;
a3
0
2,4
=
a2
0
2,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
2,3
p2
=
6
*
41
-
9
*
-2
11
=
24
;
a3
0
2,5
=
a2
0
2,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
2,3
p2
=
2
*
41
-
-8
*
-2
11
=
6
;
a3
0
4,4
=
a2
0
4,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
4,3
p2
=
21
*
41
-
9
*
15
11
=
66
;
a3
0
4,5
=
a2
0
4,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
4,3
p2
=
18
*
41
-
-8
*
15
11
=
78
;
a3
0
5,4
=
a2
0
5,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
5,3
p2
=
13
*
41
-
9
*
14
11
=
37
;
a3
0
5,5
=
a2
0
5,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
5,3
p2
=
41
*
41
-
-8
*
14
11
=
163
;
הסתר תיאור
5
איטרציה 4איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A3
) עם אינדקסים
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
חשב את המטריצה הבאה (
A4
) על סמך המטריצה הקודמת (
A3
);
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-
p4
;
רשום את המטריצה הראשונית
A4
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
x
x
x
78
x
כדי למצוא אלמנטים לא ידועים השתמש בנוסחה הבאה:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
;
כאשר:
p3
הוא איבר הפיבוט הקודם;
p4
הוא איבר הפיבוט הנוכחי;
a3
הוא האלמנט של המטריצה הקודמת, שחושב באיטרציה הקודמת;
a4
הוא האלמנט של המטריצה הבאה, שחושב באיטרציה הנוכחית;
i
הוא מספר השורה;
j
הוא מספר העמודה;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
a4
0
1,5
=
a3
0
1,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
1,4
p3
=
17
*
66
-
78
*
-14
41
=
54
;
a4
0
2,5
=
a3
0
2,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
2,4
p3
=
6
*
66
-
78
*
24
41
=
-36
;
a4
0
3,5
=
a3
0
3,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
3,4
p3
=
-8
*
66
-
78
*
9
41
=
-30
;
a4
0
5,5
=
a3
0
5,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
5,4
p3
=
163
*
66
-
78
*
37
41
=
192
;
הסתר תיאור
6
איטרציה 5איבר הפיבוט הנוכחי שווה לאיבר של המטריצה הקודמת (
A4
) עם אינדקסים
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
חשב את המטריצה הבאה (
A5
) על סמך המטריצה הקודמת (
A4
);
השורה שבה יש איבר פיבוט נכתבת מחדש במטריצה הבאה ללא שינויים;
כתוב אפס בכל איברי העמודה שבה נמצא איבר הפיבוט, למעט איבר הפיבוט עצמו;
החלף את כל איבר הפיבוט הקודמים ב-
p5
;
רשום את המטריצה הראשונית
A5
וסמן את האלמנטים שצריך למצוא כלא ידועים:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
כפי שאנו רואים, אין אלמנטים לא ידועים, כלומר חישוב המטריצה
A5
כבר הושלם;
7
דטרמיננטהdet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
גודל5×5שיטהמונטנט (אלגוריתם Bareiss)