QR分解 计算器

  关于矩阵 QR 分解计算器

这是一个免费的在线矩阵 QR 分解计算器 这是一个具有详尽、分步解决方案描述的在线计算器，可对大小高达 99x99 的矩阵进行操作，矩阵元素类型包括：小数、分数、复数、变量。

要开始计算，您需要首先在屏幕顶部找到的输入字段中输入矩阵的大小，还可以在那里选择所需的计算方法。

稍微往下，您会找到一个矩阵窗口，您需要使用键盘在其中输入矩阵元素。矩阵控制面板也位于此处，它简化了矩阵的操作，并包含以下控制元素：

• 第一个元素允许您扩展矩阵窗口。这在您需要使用不完全适合的大型矩阵进行计算的情况下特别有用。如果在扩展窗口后仍看不到矩阵，您可以使用 + / - 按钮更改矩阵的比例；
• 第二个元素执行将矩阵输入复制到内存缓冲区的功能。这在您经常使用相同的矩阵进行计算或需要在操作之间移动矩阵的情况下很有用；
• 最后一个元素插入先前复制的矩阵，这可以将输入矩阵的过程加速到只需点击几下，而不是手动进行；

再往下，您会找到一个工具栏，它允许您自定义计算器并使其更易于使用。它在视觉上分为三个部分，每个部分负责以下功能：

• 第一个允许您在显示解决方案结果时选择数字格式。此外，如果您已经理解了如何解决这个问题，并且您使用计算器来加速或检查自己的计算，您可以在此处关闭对问题解决方案的评论。或者，如果您只需要解决方案的结果，您可以完全关闭分步解决方案；
• 第二个包含按钮，允许您更改矩阵输入字段的类型、擦除其元素或整个矩阵，以及带有等号的最大按钮，它将带您进入问题解决方案屏幕。所有这些按钮都由键盘上的键复制。要找出要按的键盘上的哪个键，只需将鼠标悬停在其中一个按钮上，就会出现带有键名的工具提示。您还可以使用键盘上的箭头键在矩阵输入字段之间移动光标；
• 最后一个允许您选择非整数数字的小数点后位数。此外，您可以在此处立即看到舍入分数的示例；

  什么是矩阵 QR 分解？

QR 分解是将给定矩阵分解为两个矩阵，一个是正交矩阵，另一个是上三角矩阵，这两个矩阵的乘积可以得到原矩阵。QR 分解可以应用于列数不超过行数的矩阵。

  如何使用 Gram-Schmidt 方法进行矩阵 QR 分解？

首先需要对给定矩阵的列应用 Gram-Schmidt 正交化和标准化过程，得到的向量将作为正交矩阵的列。然后，为了得到上三角矩阵，需要找到正交矩阵的转置矩阵，并将其乘以原矩阵。

  如何使用 Householder 变换进行矩阵 QR 分解？

首先要计算给定矩阵每个列的 Householder 反射向量。在对给定矩阵的所有列应用 Householder 变换后，得到的变换矩阵将是一个上三角矩阵。正交矩阵是通过将计算上三角矩阵过程中每一步得到的所有 Householder 矩阵相乘得到的。

  如何使用 Givens 旋转进行矩阵 QR 分解？

可以使用 Givens 旋转将给定矩阵主对角线以下的所有元素转换为零，得到一个上三角矩阵。在计算上三角矩阵的过程中，每一次迭代都会计算矩阵 G 来将主对角线以下的元素转换为零。为了得到正交矩阵，需要将所有转置的矩阵 G 相乘。