O kalkulačce singulárního rozkladu matic (SVD)
Toto je bezplatná online kalkulačka singulárního rozkladu matic (SVD) s kompletním, podrobným popisem řešení krok za krokem, který provádí operace s maticemi do velikosti 99x99 s prvky matice tohoto typu: desetinná čísla, zlomky, komplexní čísla, proměnné.
Pro zahájení výpočtu musíte nejprve zadat velikost matice do vstupního pole, které najdete úplně nahoře na obrazovce, zde si také můžete zvolit požadovanou metodu výpočtu.
Níže najdete okno matice, do kterého potřebujete pomocí klávesnice zadat prvky matice. Zde se také nachází ovládací panel matice, který zjednodušuje práci s maticemi a obsahuje následující ovládací prvky:
- První prvek umožňuje rozšířit okno matice. To může být užitečné zejména v případech, kdy potřebujete provádět výpočty s velmi velkými maticemi, které se nevejdou zcela. Pokud matice i po rozšíření okna stále není viditelná, můžete změnit měřítko matice pomocí tlačítek + / -;
- Druhý prvek plní funkci kopírování zadání matice do paměťové schránky. To může být užitečné v případech, kdy stejnou matici často používáte pro výpočty nebo pokud potřebujete přesouvat matice mezi operacemi;
- A poslední prvek vloží dříve zkopírovanou matici, což vám umožní urychlit proces zadávání matice na pouhých pár kliknutí, místo abyste ji zadávali ručně;
A dále níže najdete panel nástrojů, který vám umožní přizpůsobit kalkulačku a zjednodušit práci s ní. Je vizuálně rozdělen na tři části, z nichž každá je zodpovědná za následující funkce:
- První umožňuje zvolit formát čísla, když se zobrazí výsledek řešení. Zde můžete také vypnout komentáře k řešení problému, pokud jste již pochopili, jak tento problém řešit, a kalkulačku používáte pouze pro zrychlení nebo kontrolu vlastních výpočtů. Nebo můžete zcela vypnout podrobný postup řešení, pokud potřebujete pouze výsledek řešení;
- Druhý obsahuje tlačítka, která umožňují změnit typ vstupního pole matice, vymazat její prvky nebo celou matici a největší tlačítko se znaménkem rovnosti, které vás přesměruje na obrazovku s řešením problému. Všechna tato tlačítka jsou duplikována klávesami na klávesnici. Chcete-li zjistit, kterou klávesu na klávesnici stisknout, jednoduše najeďte kurzorem na některé z tlačítek a zobrazí se nápověda se jménem klávesy. K pohybu kurzoru mezi vstupními poli matice můžete také použít šipky na klávesnici;
- A poslední vám umožní zvolit počet číslic za desetinnou čárkou pro zaokrouhlení necelých čísel. Zde můžete také okamžitě vidět příklad, jak budou vypadat zaokrouhlené zlomky;
Co je singulární rozklad matice (SVD)?
Singulární rozklad (SVD) je faktorizace dané reálné nebo komplexní matice na tři matice. Jedna z nich je n x n komplexní unitární matice, druhá je n x m pravoúhlá diagonální matice s jednotkovými hodnotami (nenulová reálná čísla) na diagonále a třetí je m x m komplexní unitární matice s konjugovaně transponovanou maticí. Součin n x n komplexní unitární matice, n x m pravoúhlé diagonální matice a m x m komplexní unitární matice s konjugovaně transponovanou maticí by měl dát původní matici.
Jak provést singulární rozklad matice (SVD)?
Nejprve je třeba najít první hermitovskou matici původní matice násobením původní matice její transponovanou maticí. Dále potřebujeme najít druhou hermitovskou matici původní matice násobením transponované původní matice původní maticí. Následně vypočítáme vlastní čísla a vlastní vektory první hermitovské matice. Nyní potřebujeme vypočítat jednotkové hodnoty odmocněním každé kladné vlastní hodnoty první hermitovské matice. To nám umožní vytvořit pravoúhlou diagonální matici umístěním jednotkových hodnot na hlavní diagonálu a vyplněním všech ostatních prvků matice nulami. V tomto kroku také můžeme najít n x n komplexní unitární matici normalizací vlastních vektorů první hermitovské matice a jejich umístěním jako sloupců do n x n komplexní unitární matice. Poté je třeba najít vlastní vektory druhé hermitovské matice, normalizovat je a umístit je jako sloupce do m x m komplexní unitární matice. A nakonec už zbývá pouze najít matici s konjugovaně transponovanou m x m komplexní unitární maticí.
Zdroje
