Decomposizione ai valori singolari (SVD) calcolatore

  Informazioni sulla decomposizione ai valori singolari (SVD)

Questo è un calcolatore online gratuito di decomposizione ai valori singolari (SVD) con una descrizione completa, dettagliata e passo-passo delle soluzioni, che esegue operazioni con matrici fino a 99x99 di dimensione con elementi della matrice di questo tipo: numeri decimali, frazioni, numeri complessi, variabili.

Per iniziare il calcolo, è necessario innanzitutto inserire la dimensione della matrice nel campo di input che puoi trovare nella parte superiore dello schermo, inoltre lì puoi scegliere il metodo di calcolo desiderato.

Un po' più in basso troverai una finestra della matrice in cui devi inserire gli elementi della matrice utilizzando la tastiera. Qui si trova anche il pannello di controllo della matrice, che semplifica il lavoro con le matrici e contiene i seguenti elementi di controllo:

• Il primo elemento consente di espandere la finestra della matrice. Questo può essere particolarmente utile nei casi in cui è necessario eseguire calcoli con matrici molto grandi che non si adattano completamente. Se la matrice non è ancora visibile dopo aver espanso la finestra, puoi modificare la scala della matrice utilizzando i pulsanti + / -;
• Il secondo elemento svolge la funzione di copia dell'input della matrice nel buffer di memoria. Ciò può essere utile nei casi in cui si utilizza spesso la stessa matrice per i calcoli o se è necessario spostare le matrici tra le operazioni;
• E l'ultimo elemento inserisce la matrice copiata in precedenza, consentendo di velocizzare il processo di inserimento della matrice a pochi clic, invece di farlo manualmente;

E più in basso troverai una barra degli strumenti che ti consente di personalizzare la calcolatrice e semplificarne l'utilizzo. È visivamente divisa in tre parti, ciascuna delle quali responsabile delle seguenti funzionalità:

• La prima consente di selezionare il formato numerico quando viene visualizzato il risultato della soluzione. Inoltre, qui puoi disattivare i commenti alla soluzione del problema se hai già capito come risolverlo e utilizzi la calcolatrice per accelerare o verificare i tuoi calcoli. Oppure puoi disattivare completamente la soluzione passo-passo se hai bisogno solo del risultato della soluzione;
• La seconda contiene pulsanti che consentono di modificare il tipo del campo di input della matrice, cancellarne gli elementi o l'intera matrice, e il pulsante più grande con un segno di uguale, che ti porterà alla schermata con la soluzione del problema. Tutti questi pulsanti sono duplicati dai tasti della tastiera. Per scoprire quale tasto della tastiera premere, basta posizionare il mouse su uno dei pulsanti e apparirà una tooltip con il nome del tasto. Puoi anche utilizzare i tasti freccia sulla tastiera per spostare il cursore tra i campi di input della matrice;
• E l'ultima ti permette di scegliere il numero di cifre decimali per l'arrotondamento dei numeri non interi. Inoltre, qui puoi vedere immediatamente un esempio di come appariranno le frazioni arrotondate;

  Che cos'è la decomposizione ai valori singolari (SVD) di una matrice?

La decomposizione ai valori singolari (SVD) è la fattorizzazione di una data matrice reale o complessa in tre matrici: una matrice unitaria complessa n x n, una matrice diagonale rettangolare n x m con valori singolari (numeri reali non negativi) sulla diagonale, e una matrice unitaria complessa di trasposta coniugata m x m. Il prodotto di una matrice unitaria n x n per una matrice diagonale rettangolare n x m e per una matrice unitaria complessa di trasposta coniugata m x m dovrebbe dare la matrice originale.

  Come eseguire la decomposizione ai valori singolari (SVD) di una matrice?

Dobbiamo trovare la prima matrice hermitiana della matrice originale moltiplicando la matrice originale per la sua trasposta. Poi dobbiamo trovare la seconda matrice hermitiana della matrice originale moltiplicando la matrice originale trasposta per la matrice originale. Successivamente, dobbiamo calcolare gli autovalori e gli autovettori della prima matrice hermitiana. Ora dobbiamo calcolare i valori singolari prendendo la radice quadrata di ciascun autovalore positivo della prima matrice hermitiana. Ciò ci consentirà di comporre una matrice diagonale rettangolare posizionando i valori singolari sulla diagonale principale e riempiendo tutti gli altri elementi della matrice con zeri. Inoltre, in questo passaggio possiamo trovare la matrice unitaria complessa n x n normalizzando gli autovettori della prima matrice hermitiana e posizionandoli come colonne della matrice unitaria complessa n x n. Successivamente, dobbiamo trovare gli autovettori della seconda matrice hermitiana, normalizzarli e posizionarli come colonne della matrice unitaria complessa m x m. Ora non resta che trovare la matrice di trasposta coniugata della matrice unitaria complessa m x m.