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i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
如何通過豪斯霍爾德變換計算 QR 分解
構建逐列反射使次對角線項為零。每個反射由被簡化的列向量決定；反射的乘積給出 Q（正交），反射矩陣是 R（上三角）。
豪斯霍爾德變換 — 工作示例 (2×2)
寫出初始矩陣
A
：
A
=
3
4
1
2
QR
分解是矩陣
A
的表示形式：
A
=
Q
*
R
；
矩陣
Q
是正交矩陣；
矩陣
R
是上三角矩陣；
要使用 戶主 反射方法執行
QR
分解，需要執行以下操作：
1)
計算矩陣A每列a戶主v2)
對於矩陣A的每一列a，我們將計算戶主矩陣H3)
對矩陣A的所有列進行戶主變換後，變換後的矩陣A'將是上三角矩陣R4)
正交矩陣Q是所有戶主矩陣H相乘得到的要使用 戶主 反射方法執行
QR
分解，需要對矩陣
A
的每一列
a
執行以下操作：
1)
計算列 a 的範數 ‖a‖2)
定義第a列的符號(s)s
= -
sgn
(
a
[
i
])
;
// 其中
sgn(a)
如果 a[i] ≥ 0，則為 = 1 ，否則為 -1a[i]
是第a列的第i個元素i
為列號3)
計算 戶主 反射向量v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
i
;
// 其中
eᵢ
是標準基向量，其中第i個元素為1，所有其他元素為0i
為列號4)
標準化 戶主 反射向量v_norm
=
v
v
;
5)
計算 戶主 矩陣H
0
i
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
;
6)
對矩陣 應用 戶主 變換A'
0
i
=
H
0
i
*
A'
0
i - 1
;
7)
計算矩陣Q
0
i
=
Q
0
i - 1
*
H
0
i
;
2
迭代 1在第一次迭代時，矩陣
A'
0
0
等於原始矩陣
A
：
A'
0
0
=
3
4
1
2
寫入初始矩陣
Q
0
0
，它等於單位矩陣：
Q
0
0
=
1
0
0
1
向量
a
等於矩陣
A'
0
0
的第
1
列：
a
=
3
4
計算列
a
:
的範數
a
a
=
5
;
定義第
a
:
列的符號(
s
)
s
= -
sgn
(
a
[
1
])
= -
sgn
-(
3
) = -(
1
) =
-1
;
寫出第
1
個標準基向量：
e
0
1
=
1
0
計算 戶主 反射向量
:
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
1
=
3
4
-
-1
*
5
*
1
0
=
3
4
-
-5
0
=
8
4
;
標準化 戶主 反射向量
:
v_norm
=
v
v
=
89
100
9
20
計算 戶主 反射向量
:
H
0
1
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
1
- 2 *
89
100
9
20
*
89
100
9
20
=
=
89
100
9
20
·
89
100
9
20
=
4
5
2
5
2
5
1
5
=
1
0
0
1
- 2 *
4
5
2
5
2
5
1
5
=
=
4
5
2
5
2
5
1
5
·
2
=
4
5
*
2
2
5
*
2
2
5
*
2
1
5
*
2
=
1
3
5
4
5
4
5
2
5
=
1
0
0
1
−
1
3
5
4
5
4
5
2
5
=
1
-
1
3
5
0
-
4
5
0
-
4
5
1
-
2
5
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
對矩陣
A'
0
1
:
應用 戶主 變換
A'
0
1
=
H
0
1
·
A'
0
0
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
·
3
4
1
2
=
-5
0
-2
1
5
2
5
計算矩陣
Q
0
1
:
Q
0
1
=
Q
0
0
·
H
0
1
=
1
0
0
1
·
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
3
迭代 2向量
a
等於矩陣
A'
0
1
的第
2
列：
a
=
0
2
5
計算列
a
:
的範數
a
a
=
2
5
;
定義第
a
:
列的符號(
s
)
s
= -
sgn
(
a
[
2
])
= -
sgn
-(
2
5
) = -(
1
) =
-1
;
寫出第
2
個標準基向量：
e
0
2
=
0
1
計算 戶主 反射向量
:
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
2
=
0
2
5
-
-1
*
2
5
*
0
1
=
0
2
5
-
0
-
2
5
=
0
4
5
;
標準化 戶主 反射向量
:
v_norm
=
v
v
=
0
1
計算 戶主 反射向量
:
H
0
2
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
1
- 2 *
0
1
*
0
1
=
=
0
1
·
0
1
=
0
0
0
1
=
1
0
0
1
- 2 *
0
0
0
1
=
=
0
0
0
1
·
2
=
0
*
2
0
*
2
0
*
2
1
*
2
=
0
0
0
2
=
1
0
0
1
−
0
0
0
2
=
1
-
0
0
-
0
0
-
0
1
-
2
=
1
0
0
-1
對矩陣
A'
0
2
:
應用 戶主 變換
A'
0
2
=
H
0
2
·
A'
0
1
=
1
0
0
-1
·
-5
0
-2
1
5
2
5
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
計算矩陣
Q
0
2
:
Q
0
2
=
Q
0
1
·
H
0
2
=
-
3
5
-
4
5
-
4
5
3
5
·
1
0
0
-1
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
4
矩陣 Q, RQ
=
Q
0
2
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
R
=
A'
0
2
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
Answer
A = Q · RQ
=
-
3
5
-
4
5
4
5
-
3
5
R
=
-5
0
-2
1
5
-
2
5
大小2×2方法戶主轉型