線性方程組 計算機

x1

+

x1

+

x1

+

x1

+

x2

+

x2

+

x2

+

x2

+

x3

+

x3

+

x3

+

x3

+

x4

=

x4

=

x4

=

x4

=
數字格式
解決方案評論
無描述（僅回答）

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  關於線性方程組計算器

這是一個免費的在線線性方程組計算器 這是一個提供完整、詳細、分步驟解答的免費在線矩陣計算器，可進行高達 99x99 大小的矩陣運算，支持的矩陣元素類型包括：小數、分數、複數和變數。

要開始計算，您首先需要在螢幕最上方找到輸入欄位，輸入矩陣的大小，還可以在那裡選擇所需的計算方法。

稍微往下，您會找到一個矩陣視窗，您需要在其中使用鍵盤輸入矩陣元素。這裡還設有矩陣控制面板，可以簡化矩陣操作，包含以下控制項：

  • 第一個控制項可以讓您展開矩陣視窗。這在您需要使用非常大的矩陣進行計算時特別有用，而這些矩陣無法完全顯示。如果展開視窗後矩陣仍然不可見，您可以使用 + / - 按鈕來縮放矩陣；
  • 第二個控制項可以將矩陣輸入複製到記憶體緩衝區。這在您經常使用相同的矩陣進行計算或需要在操作之間移動矩陣時很有用；
  • 最後一個控制項可以插入之前複製的矩陣，讓您只需點擊幾下即可快速輸入矩陣，而無需手動輸入；

再往下，您會找到一個工具欄，可以用來自訂計算器並使其更易於使用。它在視覺上分為三個部分，每個部分負責以下功能：

  • 第一個部分可以讓您在顯示結果時選擇數字格式。您還可以在此處關閉問題解答的註釋，如果您已經理解如何解決該問題，並使用計算器來加速或檢查自己的計算。或者，如果您只需要解答結果，可以完全關閉分步驟解答；
  • 第二部分包含按鈕，可以讓您更改矩陣輸入欄位的類型、清除其元素或整個矩陣，以及最大的等號按鈕，它會帶您進入問題解答的螢幕。所有這些按鈕都由鍵盤上的按鍵複製。要知道要按哪個鍵盤按鍵，只需將滑鼠懸停在其中一個按鈕上，就會出現一個帶有按鍵名稱的提示。您還可以使用鍵盤上的箭頭鍵在矩陣輸入欄位之間移動游標；
  • 最後一部分可以讓您選擇非整數數字的小數點後位數，以進行捨入。您還可以在此處立即看到捨入後的分數示例；

  什麼是線性方程組？

線性方程組是指包含相同變數的兩個或更多個線性方程式。解線性方程組就是找到這些變數。

  如何使用高斯消元法解線性方程組？

我們需要將線性方程組寫成矩陣形式，然後使用高斯消元將此矩陣化為行梯形。之後，在自由係數列的最後一行中，我們得到系統的最後一個根，然後使用回代法，找到系統的所有其他根。

  線性方程組示例

以矩陣形式寫出方程組：
2
-3
-2
1
-1
1
-1
2
2
8
-11
-3
用高斯消元法求一個線性方程組的根，可以將系統的矩陣形式帶入行梯形形式；
之後，在自由係數列的最後一行，我們得到系統的最後一個根；
然後，使用反向替換，我們找到系統的所有其他根；

高斯向前跑

2
迭代 1
將第
1
行除以
2
；
1
-3
-2
1
2
-1
1
-
1
2
2
2
4
-11
-3
a
0
1,1
=
2
2
=
1
;
a
0
1,2
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,3
=
-1
2
=
-
1
2
;
a
0
1,4
=
8
2
=
4
;
隱藏描述
從第
2
行減去第
1
行，乘以
-3
；
從第
3
行減去第
1
行，乘以
-2
；
1
0
0
1
2
1
2
2
-
1
2
1
2
1
4
1
5
a
0
2,1
=
-3
- (
-3
*
1
) =
0
;
a
0
2,2
=
-1
- (
-3
*
1
2
) =
1
2
;
a
0
2,3
=
2
- (
-3
*
-
1
2
) =
1
2
;
a
0
2,4
=
-11
- (
-3
*
4
) =
1
;
a
0
3,1
=
-2
- (
-2
*
1
) =
0
;
a
0
3,2
=
1
- (
-2
*
1
2
) =
2
;
a
0
3,3
=
2
- (
-2
*
-
1
2
) =
1
;
a
0
3,4
=
-3
- (
-2
*
4
) =
5
;
隱藏描述
3
迭代 2
將第
2
行除以
1
2
；
1
0
0
1
2
1
2
-
1
2
1
1
4
2
5
a
0
2,2
=
1
2
1
2
=
1
;
a
0
2,3
=
1
2
1
2
=
1
;
a
0
2,4
=
1
1
2
=
2
;
隱藏描述
從第
3
行減去第
2
行，乘以
2
；
1
0
0
1
2
1
0
-
1
2
1
-1
4
2
1
a
0
3,2
=
2
- (
2
*
1
) =
0
;
a
0
3,3
=
1
- (
2
*
1
) =
-1
;
a
0
3,4
=
5
- (
2
*
2
) =
1
;
隱藏描述
4
迭代 3
將第
3
行除以
-1
；
1
0
0
1
2
1
0
-
1
2
1
1
4
2
-1
a
0
3,3
=
-1
-1
=
1
;
a
0
3,4
=
1
-1
=
-1
;
隱藏描述
5
回換
從第
3
行，很明顯：
x
0
3
=
-1
;
將
x
0
3
代入方程
2
並找到
x
0
2
：
x
0
2
=
2
- (
1
*
-1
)
=
3
;
將
x
0
2
代入方程
1
並找到
x
0
1
：
x
0
1
=
4
- (
1
2
*
3
)
- (
-
1
2
*
-1
)
=
2
;
Answer
Ax = b
x
0
1
=
2
;
x
0
2
=
3
;
x
0
3
=
-1
;
大小3×4方法高斯消元

  常見問題

如何求解線性方程組？

將方程組寫成矩陣形式 Ax = b，然後套用高斯消去法、高斯-約旦消去法、克拉默法則或逆矩陣法（x = A⁻¹b）。當解存在時，每種方法都會得到相同的解。

線性方程組在什麼情況下無解？

當列化簡產生一列為 0 = 某非零數時，方程組是不相容的。這發生在係數矩陣與增廣矩陣的秩不同時。

方程組在什麼情況下有無窮多解？

當方程組相容但其秩小於未知數的個數時，會留下自由變數。此時的解是由那些自由變數參數化的一族解。

什麼是克拉默法則？

克拉默法則透過將每個未知數寫成行列式之比，來求解行列式不為零的方陣方程組：xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)，其中 Aᵢ 是將 A 的第 i 列換成右側向量後的矩陣。

  計算方法

  相關計算器

  參考來源

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