Mátrix determináns Számológép

  Mátrix determináns kalkulátorról

Ez egy ingyenes online mátrix-determináns kalkulátor, amely a következő módszereket használja: oszlopbontás/sorbontás, Sarus-szabály, háromszögű alak (Gauss-elimináció), Montante (Bareiss-algoritmus). Teljes, részletes lépésről-lépésre leírt megoldásokkal, amely maximum 99x99 méretű mátrixokkal végez műveleteket, tizedes számokból, törtekből, komplex számokból, változókból álló mátrixelemekkel.

A számítás elindításához először a képernyő tetején található beviteli mezőbe kell megadni a mátrix méretét, itt választhatja ki a kívánt számítási módszert is.

Alatta talál egy mátrix ablakot, amelybe billentyűzettel kell beírnia a mátrixelemeket. Itt található a mátrix kezelőpanel is, amely egyszerűsíti a mátrixokkal való munkát, és a következő vezérlőelemeket tartalmazza:

• Az első elem lehetővé teszi a mátrix ablak kibővítését. Ez különösen hasznos lehet olyan esetekben, amikor nagyon nagy, nem teljesen elférő mátrixokkal kell számításokat végezni. Ha a kibővítés után sem látható a mátrix, a + / - gombokkal módosíthatja a mátrix méretarányát;
• A második elem a mátrixbevitelnél beírt értékek memóriapufferbe történő másolását végzi. Ez hasznos lehet olyan esetekben, amikor gyakran ugyanazt a mátrixot használja számításokhoz, vagy ha műveletek között kell mozgatnia a mátrixokat;
• Az utolsó elem pedig beilleszti a korábban másolt mátrixot, így a manuális bevitel helyett néhány kattintással felgyorsíthatja a mátrixbevitelt;

Tovább haladva egy eszköztárat talál, amellyel testre szabhatja a számológépet és megkönnyítheti a munkát. Vizuálisan három részre van osztva, amelyek mindegyike a következő funkciókért felelős:

• Az első lehetővé teszi a számformátum kiválasztását az eredmények megjelenítésekor. Itt kikapcsolhatja a megoldáshoz mellékelt megjegyzéseket is, ha már megértette a probléma megoldásának módját, és a számológépet a saját számításainak gyorsításához vagy ellenőrzéséhez használja. Vagy teljesen kikapcsolhatja a lépésről-lépésre történő megoldást, ha csak a megoldás eredményére van szüksége;
• A második olyan gombokat tartalmaz, amelyek lehetővé teszik a mátrix beviteli mezőjének típusának megváltoztatását, az elemeinek vagy az egész mátrix törlését, valamint a legnagyobb gomb egyenlőségjellel, amely a probléma megoldásának képernyőjére viszi. Mindezen gombok le vannak másolva a billentyűzeten. Annak megállapításához, hogy a billentyűzeten melyik gombot kell lenyomni, egyszerűen vigye az egérmutatót az egyik gomb fölé, és megjelenik egy eszköztipp a gomb nevével. A billentyűzet nyíl gombjaival is mozgathatja a kurzort a mátrix beviteli mezők között;
• Az utolsó pedig lehetővé teszi a tizedes utáni számjegyek számának kiválasztását a nem egész számok kerekítéséhez. Itt azonnal láthatja azt is, hogyan fognak kinézni a kerekített törtek;

  Mi a mátrix determináns?

A mátrix determinánsa egyetlen skaláris érték, amely a négyzetes mátrix elemeinek függvénye, és a mátrix néhány tulajdonságát jellemzi. Tehát a mátrix determinánsa csak négyzetes mátrixoknál található meg, azaz azoknál, amelyekben az oszlopok és sorok száma megegyezik. Ha a mátrix determinánsa nulla, akkor a mátrix szinguláris, más néven degenerált vagy nem invertálható, és inverze nem található.

  Hogyan találjuk meg a mátrix determinánsát Laplace-bővítéssel (sor/oszlop szerinti bontással)?

A Laplace-bővítés segítségével bármilyen méretű négyzetes mátrix determinánsát megtalálhatja. A Laplace-bővítéssel, más néven kofaktorbővítéssel történő determinánsszámításhoz először ki kell választani a mátrix bármely sorát vagy oszlopát, általában ez az első sor, és a továbbiakban úgy magyarázzuk, mintha az első sort választottuk volna. Ezután meg kell határozni az egyes elemek minorját. Egy elem minorjának meghatározásához ki kell húzni azt a sort és oszlopot a mátrixból, amelyben az elem benne van, így egy új almátrixot kapunk, amelynek meg kell határozni a determinánsát, ez lesz az adott elem minorja. Ezután minden sor minden eleméhez meg kell határozni a kofaktort úgy, hogy az adott elem minorját megszorozzuk 1-gyel, ha az elem sorindexének és oszlopindexének összege páros, vagy -1-gyel, ha nem. Ezután az egyes sorokban lévő elemeket a megfelelő kofaktorukkal kell szorozni és az összes kapott szorzatot össze kell adni, az eredmény pedig a mátrix determinánsa lesz.

  Hogyan találjuk meg a mátrix determinánsát a Sarus-szabállyal?

A Sarus-szabály csak 3 x 3 méretű mátrixokra alkalmazható. A determináns meghatározásához a Sarus-szabállyal először a mátrix első két oszlopát kell a harmadik oszlop jobboldalára írni, így egy öt oszlopos mátrixot kapunk. Ezután össze kell adni a fentről lefelé haladó átlók szorzatait, és ki kell vonni az alulról felfelé haladó átlók szorzatait, az eredmény pedig a mátrix determinánsa lesz.

  Hogyan találjuk meg a mátrix determinánsát háromszögű alak (Gauss-elimináció) segítségével?

A háromszögű alakkal bármilyen méretű négyzetes mátrix determinánsát megtalálhatja. A mátrix determinánsának meghatározásához kihasználhatjuk a háromszögmátrixok tulajdonságát, miszerint a háromszögmátrix determinánsa a főátló elemeinek szorzata. Így első lépésként Gauss-eliminációval háromszög alakba kell hozni a mátrixot, majd az összes főátlóbeli elemet össze kell szorozni, az eredmény pedig a mátrix determinánsa lesz.

  Hogyan találjuk meg a mátrix determinánsát a Montante (Bareiss-algoritmus) segítségével?

A Montante (Bareiss-algoritmus) segítségével bármilyen méretű négyzetes mátrix determinánsát megtalálhatja. A mátrix determinánsának meghatározásához csak a Bareiss-algoritmust kell alkalmazni a mátrixra, amely lépcsős alakba hozza azt, így a főátló utolsó eleme lesz a mátrix determinánsa.