Mátrix QR-bontás kalkulátorról
Ez egy ingyenes online mátrix QR-bontás kalkulátor. Teljes, részletes lépésről-lépésre leírt megoldásokkal, amely maximum 99x99 méretű mátrixokkal végez műveleteket, tizedes számokból, törtekből, komplex számokból, változókból álló mátrixelemekkel.
A számítás elindításához először a képernyő tetején található beviteli mezőbe kell megadni a mátrix méretét, itt választhatja ki a kívánt számítási módszert is.
Alatta talál egy mátrix ablakot, amelybe billentyűzettel kell beírnia a mátrixelemeket. Itt található a mátrix kezelőpanel is, amely egyszerűsíti a mátrixokkal való munkát, és a következő vezérlőelemeket tartalmazza:
- Az első elem lehetővé teszi a mátrix ablak kibővítését. Ez különösen hasznos lehet olyan esetekben, amikor nagyon nagy, nem teljesen elférő mátrixokkal kell számításokat végezni. Ha a kibővítés után sem látható a mátrix, a + / - gombokkal módosíthatja a mátrix méretarányát;
- A második elem a mátrixbevitelnél beírt értékek memóriapufferbe történő másolását végzi. Ez hasznos lehet olyan esetekben, amikor gyakran ugyanazt a mátrixot használja számításokhoz, vagy ha műveletek között kell mozgatnia a mátrixokat;
- Az utolsó elem pedig beilleszti a korábban másolt mátrixot, így a manuális bevitel helyett néhány kattintással felgyorsíthatja a mátrixbevitelt;
Tovább haladva egy eszköztárat talál, amellyel testre szabhatja a számológépet és megkönnyítheti a munkát. Vizuálisan három részre van osztva, amelyek mindegyike a következő funkciókért felelős:
- Az első lehetővé teszi a számformátum kiválasztását az eredmények megjelenítésekor. Itt kikapcsolhatja a megoldáshoz mellékelt megjegyzéseket is, ha már megértette a probléma megoldásának módját, és a számológépet a saját számításainak gyorsításához vagy ellenőrzéséhez használja. Vagy teljesen kikapcsolhatja a lépésről-lépésre történő megoldást, ha csak a megoldás eredményére van szüksége;
- A második olyan gombokat tartalmaz, amelyek lehetővé teszik a mátrix beviteli mezőjének típusának megváltoztatását, az elemeinek vagy az egész mátrix törlését, valamint a legnagyobb gomb egyenlőségjellel, amely a probléma megoldásának képernyőjére viszi. Mindezen gombok le vannak másolva a billentyűzeten. Annak megállapításához, hogy a billentyűzeten melyik gombot kell lenyomni, egyszerűen vigye az egérmutatót az egyik gomb fölé, és megjelenik egy eszköztipp a gomb nevével. A billentyűzet nyíl gombjaival is mozgathatja a kurzort a mátrix beviteli mezők között;
- Az utolsó pedig lehetővé teszi a tizedes utáni számjegyek számának kiválasztását a nem egész számok kerekítéséhez. Itt azonnal láthatja azt is, hogyan fognak kinézni a kerekített törtek;
Mi a mátrix QR-bontása?
A QR-bontás egy adott mátrix két mátrixra történő faktorizálása, amelyek közül az egyik ortogonális mátrix, a másik pedig felső háromszögmátrix, és e két mátrix szorzata adja az eredeti mátrixot. A QR-bontás olyan mátrixokra alkalmazható, amelyekben az oszlopok száma nem haladja meg a sorok számát.
Hogyan történik a mátrix QR-bontása a Gram-Schmidt módszerrel?
Először a Gram-Schmidt-folyamatot (ortogonalizálás és orto-normalizálás) kell alkalmazni az adott mátrix oszlopaira, és az így kapott vektorok lesznek az ortogonális mátrix oszlopai. Ezután a felső háromszögmátrix meghatározásához az ortogonális mátrix transzponáltját kell szorozni az eredeti mátrixszal.
Hogyan történik a mátrix QR-bontása a Householder-féle tükrözésekkel?
Először ki kell számítani a Householder-féle tükrözési vektort az adott mátrix minden oszlopára. Miután a Householder-féle transzformációt alkalmazzuk az adott mátrix összes oszlopára, az így kapott transzformált mátrix felső háromszögmátrix lesz. Az ortogonális mátrix az egyes lépésekben a felső háromszögmátrix kiszámítása során kapott Householder-mátrixok szorzásával nyerhető meg.
Hogyan történik a mátrix QR-bontása a Givens-féle rotációkkal?
A Givens-féle rotációk segítségével az adott mátrix főátlója alatti összes elemet nullára állíthatjuk, így felső háromszögmátrixot kapunk. A felső háromszögmátrix kiszámítása során minden iterációban kiszámítjuk a G mátrixot, hogy a főátló alatti elemeket nullára állítsuk. Az ortogonális mátrix meghatározásához az összes transzponált G mátrixot szorozni kell.
Források
