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3131313131351515151515≈83137
如何使用蒙坦特方法求逆
將 Bareiss 式整數保留消去應用於擴增矩陣 [A|I]。每個消去步驟精確除以前一個樞軸，使中間值保持整數。完全簡化後，逆矩陣出現在右側。
蒙坦特 (Bareiss) 逆 — 工作示例 (4×4)
寫出初始矩陣
A
：
A
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
為了找到矩陣
A
的逆矩陣，我們可以在它的右邊添加相同大小的單位矩陣；
之後，使用
蒙坦特（巴雷斯 算法）
方法，我們對矩陣進行變換，使左邊成為單位矩陣，然後在右邊我們得到矩陣
A
的逆矩陣；
寫出擴展矩陣（將單位矩陣添加到矩陣
A
的右側）：
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
迭代 1A0
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
在第一次迭代中，前一個樞軸元素始終等於 1：
p0
=
1
;
當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A0
) 的元素，索引為
1
,
1
：
p1
=
a0
0
1,1
=
4
;
根據前一個矩陣 (
A0
) 計算下一個矩陣（
A1
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；寫出初始矩陣
A1
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A1
=
4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
要查找未知元素，請使用以下公式：
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
是前一個樞軸元素p1
是當前的樞軸元素a0
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a1
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1
=
4
0
0
0
1
19
4
-1
0
4
16
4
1
-1
4
11
1
-1
0
-1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
4
迭代 2當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A1
) 的元素，索引為
2
,
2
：
p2
=
a1
0
2,2
=
19
;
根據前一個矩陣 (
A1
) 計算下一個矩陣（
A2
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p2 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A2
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
×××
4
×××
-1
×××
-1
×××
4
×××
0
×××
0
要查找未知元素，請使用以下公式：
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
是前一個樞軸元素p2
是當前的樞軸元素a1
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a2
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4} × {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
-1
4
72
20
5
-1
20
52
5
-1
1
-5
-1
4
-4
1
0
0
19
0
0
0
0
19
5
迭代 3當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A2
) 的元素，索引為
3
,
3
：
p3
=
a2
0
3,3
=
72
;
根據前一個矩陣 (
A2
) 計算下一個矩陣（
A3
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p3 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A3
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
×××
20
×××
1
×××
-4
×××
19
×××
0
要查找未知元素，請使用以下公式：
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
是前一個樞軸元素p3
是當前的樞軸元素a2
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a3
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4} × {4, 5, 6, 7, 8}
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
20
-8
20
176
19
-4
1
-20
-4
16
-4
8
1
-4
19
-20
0
0
0
72
6
迭代 4當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A3
) 的元素，索引為
4
,
4
：
p4
=
a3
0
4,4
=
176
;
根據前一個矩陣 (
A3
) 計算下一個矩陣（
A4
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p4 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A4
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
×××
-20
×××
8
×××
-20
×××
72
要查找未知元素，請使用以下公式：
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
是前一個樞軸元素p4
是當前的樞軸元素a3
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a4
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3} × {5, 6, 7, 8}
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
52
-12
8
-20
-12
40
-12
8
8
-12
52
-20
-20
8
-20
72
7
矩陣逆將矩陣的每個非零元素除以
176
；
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Answer
B = A⁻¹3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
大小4×4方法蒙坦特（巴雷斯 算法）