Over QR-decompositie rekenmachine
Dit is een gratis online rekenmachine voor QR-decompositie van matrices met complete, gedetailleerde, stapsgewijze beschrijving van oplossingen, die operaties uitvoert met matrices tot 99x99 groot met matrixelementen van dit type: decimalen, breuken, complexe getallen, variabelen.
Om de berekening te starten, moet u eerst de grootte van de matrix invoeren in het invoerveld dat u bovenaan het scherm kunt vinden. Daar kunt u ook de gewenste berekeningsmethode kiezen.
Een beetje hieronder vindt u een matrixvenster waarin u matrixelementen moet invoeren met behulp van het toetsenbord. Het matrixbedieningspaneel bevindt zich ook hier, wat het werken met matrices vereenvoudigt en de volgende besturingselementen bevat:
- Het eerste element maakt het mogelijk om het matrixvenster te vergroten. Dit kan vooral handig zijn in gevallen waarin u berekeningen moet uitvoeren met zeer grote matrices die niet volledig passen. Als de matrix na het uitbreiden van het venster nog steeds niet zichtbaar is, kunt u de schaal van de matrix wijzigen met de + / - knoppen;
- Het tweede element kopieert de matrixinvoer naar het geheugenbuffer. Dit kan handig zijn in gevallen waarin u vaak dezelfde matrix voor berekeningen gebruikt, of als u matrices tussen bewerkingen moet verplaatsen;
- En het laatste element voegt de eerder gekopieerde matrix in, waardoor u het invoeren van de matrix kunt versnellen tot slechts een paar klikken, in plaats van dit handmatig te doen;
En verderop vindt u een werkbalk waarmee u de rekenmachine kunt aanpassen en er gemakkelijker mee kunt werken. Het is visueel onderverdeeld in drie delen, waarvan elk verantwoordelijk is voor de volgende functionaliteit:
- Met de eerste kunt u het aantal decimalen selecteren wanneer het oplossingsresultaat wordt weergegeven. Ook kunt u hier opmerkingen bij de oplossing van het probleem uitschakelen als u al weet hoe u dit probleem moet oplossen en u de rekenmachine gebruikt om uw eigen berekeningen te versnellen of te controleren. Of u kunt de stapsgewijze oplossing volledig uitschakelen als u alleen het resultaat van de oplossing nodig hebt;
- De tweede bevat knoppen waarmee u het type van het matrixinvoerveld kunt wijzigen, de elementen of de hele matrix kunt wissen en de grootste knop met een gelijkteken, die u naar het scherm met de oplossing van het probleem brengt. Al deze knoppen worden gedupliceerd door toetsen op het toetsenbord. Om te achterhalen welke toets op het toetsenbord u moet indrukken, hovert u eenvoudig over een van de knoppen en verschijnt er een tooltip met de naam van de toets. U kunt ook de pijltoetsen op uw toetsenbord gebruiken om de cursor tussen matrixinvoervelden te verplaatsen;
- En met de laatste kunt u het aantal decimalen achter de komma kiezen voor het afronden van niet-gehele getallen. Ook kunt u hier direct zien hoe afgeronde breuken eruit zullen zien;
Wat is de QR-decompositie van een matrix?
QR-decompositie is de factorisatie van een gegeven matrix in twee matrices: een orthogonale matrix en een bovenste driehoekige matrix. Het product van deze matrices is de oorspronkelijke matrix. QR-decompositie kan worden toegepast op matrices waarin het aantal kolommen niet groter is dan het aantal rijen.
Hoe de QR-decompositie van een matrix uit te voeren met behulp van Gram-Schmidt?
Eerst moeten we het Gram-Schmidt-proces (orthogonalisatie en orthonormalisatie) toepassen op de kolommen van de gegeven matrix. De resulterende vectoren worden de kolommen van de orthogonale matrix. Om de bovenste driehoekige matrix te verkrijgen, moeten we de getransponeerde matrix van de orthogonale matrix vermenigvuldigen met de oorspronkelijke matrix.
Hoe de QR-decompositie van een matrix uit te voeren met behulp van Householder-reflecties?
Begin met het berekenen van de Householder-reflectievector voor elke kolom van de gegeven matrix. Nadat we de Householder-transformatie hebben toegepast op alle kolommen van een gegeven matrix, is de resulterende getransformeerde matrix een bovenste driehoekige matrix. De orthogonale matrix wordt verkregen door alle Householder-matrices te vermenigvuldigen die bij elke stap tijdens de berekening van de bovenste driehoekige matrix zijn verkregen.
Hoe de QR-decompositie van een matrix uit te voeren met behulp van Givens-rotaties?
We kunnen Givens-rotaties gebruiken om alle elementen onder de hoofddiagonaal van een gegeven matrix nul te maken, waardoor we een bovenste driehoekige matrix krijgen. Tijdens het berekenen van de bovenste driehoekige matrix bij elke iteratie, zullen we de matrix G berekenen om de elementen onder de hoofddiagonaal naar nul te converteren. Om een orthogonale matrix te verkrijgen, moeten alle getransponeerde matrices G worden vermenigvuldigd.
Bronnen
