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3131313131351515151515≈83137
如何使用蒙坦特 (Bareiss 演算法) 求行列式
蒙坦特方法（也稱為 Bareiss 演算法）是高斯消去法的整數保留變體。在每個步驟中，前一次迭代的樞軸精確除新條目，使每個中間結果保持整數。行列式是最終樞軸。
蒙坦特 (Bareiss) 工作示例 (5×5)
寫出初始矩陣
A
：
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
通過蒙坦特方法（巴雷斯算法）將矩陣
A
簡化為梯形，然後主對角線上的最後一個元素將等於矩陣
A
的行列式；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
要查找未知元素，請使用以下公式：a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a是矩陣A的元素；p
p 是當前的樞軸元素；2
迭代 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
在第一次迭代中，前一個樞軸元素始終等於 1：
p0
=
1
;
當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A0
) 的元素，索引為
1
,
1
：
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
根據前一個矩陣 (
A0
) 計算下一個矩陣（
A1
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；寫出初始矩陣
A1
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A1
=
3
0
0
0
0
1
2
0
1
要查找未知元素，請使用以下公式：
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
是前一個樞軸元素p1
是當前的樞軸元素a0
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a1
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
3
迭代 2當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A1
) 的元素，索引為
2
,
2
：
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
根據前一個矩陣 (
A1
) 計算下一個矩陣（
A2
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p2 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A2
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
××××
-2
××××
6
××××
2
要查找未知元素，請使用以下公式：
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
是前一個樞軸元素p2
是當前的樞軸元素a1
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a2
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
4
迭代 3當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A2
) 的元素，索引為
3
,
3
：
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
根據前一個矩陣 (
A2
) 計算下一個矩陣（
A3
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p3 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A3
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
××××
9
××××
-8
要查找未知元素，請使用以下公式：
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
是前一個樞軸元素p3
是當前的樞軸元素a2
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a3
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
5
迭代 4當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A3
) 的元素，索引為
4
,
4
：
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
根據前一個矩陣 (
A3
) 計算下一個矩陣（
A4
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p4 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A4
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
××××
78
要查找未知元素，請使用以下公式：
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
是前一個樞軸元素p4
是當前的樞軸元素a3
是前一個矩陣的元素，在前一次迭代中計算得出a4
是下一個矩陣的元素，在當前迭代中計算i
是行號j
是列號Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
6
迭代 5當前樞軸元素等於前一個矩陣 (
A4
) 的元素，索引為
5
,
5
：
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
根據前一個矩陣 (
A4
) 計算下一個矩陣（
A5
）；
1)
存在樞軸元素的行在下一個矩陣中被重寫而沒有變化；2)
在樞軸元素所在的列的所有元素中寫入零，除了樞軸元素本身；3)
用 p5 替換所有先前的樞軸元素；寫出初始矩陣
A5
並將我們需要找到的元素標記為未知：
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
可以看到，沒有未知元素，說明矩陣
A5
的計算已經完成；
7
矩陣行列式det(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
大小5×5方法蒙坦特（巴雷斯 算法）