Descomposición por:
0
0
0
0
Formato numérico
Comentarios de la solución
Sin descripción (solo respuesta)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Cómo encontrar el determinante por Montante (algoritmo de Bareiss)
El método Montante (también conocido como algoritmo de Bareiss) es una variante que preserva enteros de la eliminación gaussiana. En cada paso, el pivote de la iteración anterior divide exactamente las nuevas entradas, manteniendo cada resultado intermedio como un entero. El determinante es el pivote final.
Montante (Bareiss) ejemplo resuelto (5×5)
Escribe la matriz inicial
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Reduzca la matriz
A
a la forma escalonada por el método de Montante (algoritmo de Bareiss), y entonces el último elemento de la diagonal principal será igual al determinante de la matriz
A
;
1)
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;2)
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;3)
Para encontrar elementos desconocidos utilice la siguiente fórmula:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a es un elemento de la matriz A;p
p es el elemento pivote actual;2
Iteración 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
En la primera iteración, el elemento pivote anterior siempre es igual a 1:
p0
=
1
;
El elemento pivote actual es igual al elemento de la matriz anterior (
A0
) con índices
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Calcule la matriz siguiente (
A1
) en función de la matriz anterior (
A0
);
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;
Escribe la matriz inicial
A1
y marca los elementos que necesitamos encontrar como desconocidos:
A1
=
3
0
0
0
0
1
x
x
x
x
2
x
x
x
x
0
x
x
x
x
1
x
x
x
x
Para encontrar elementos desconocidos utilice la siguiente fórmula:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
;
Donde:
p0
es el elemento pivote anterior;
p1
es el elemento pivote actual;
a0
es el elemento de la matriz anterior, calculado en la iteración anterior;
a1
es el elemento de la siguiente matriz, calculado en la iteración actual;
i
es el número de fila;
j
es el número de columna;
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
a1
0
2,2
=
a0
0
2,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
2,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
a1
0
2,3
=
a0
0
2,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
2,1
p0
=
0
*
3
-
2
*
1
1
=
-2
;
a1
0
2,4
=
a0
0
2,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
2,1
p0
=
2
*
3
-
0
*
1
1
=
6
;
a1
0
2,5
=
a0
0
2,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
2,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
1
1
=
2
;
a1
0
3,2
=
a0
0
3,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
2
1
=
1
;
a1
0
3,3
=
a0
0
3,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
3,1
p0
=
5
*
3
-
2
*
2
1
=
11
;
a1
0
3,4
=
a0
0
3,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
2
1
=
3
;
a1
0
3,5
=
a0
0
3,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
3,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
2
1
=
-2
;
a1
0
4,2
=
a0
0
4,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
4,3
=
a0
0
4,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
4,1
p0
=
1
*
3
-
2
*
0
1
=
3
;
a1
0
4,4
=
a0
0
4,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
4,1
p0
=
3
*
3
-
0
*
0
1
=
9
;
a1
0
4,5
=
a0
0
4,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
5,2
=
a0
0
5,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
5,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
1
1
=
-1
;
a1
0
5,3
=
a0
0
5,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
5,1
p0
=
2
*
3
-
2
*
1
1
=
4
;
a1
0
5,4
=
a0
0
5,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
5,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
1
1
=
3
;
a1
0
5,5
=
a0
0
5,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
5,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
Ocultar descripción
3
Iteración 2El elemento pivote actual es igual al elemento de la matriz anterior (
A1
) con índices
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Calcule la matriz siguiente (
A2
) en función de la matriz anterior (
A1
);
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;
Reemplace todos los elementos de pivote anteriores con
p2
;
Escribe la matriz inicial
A2
y marca los elementos que necesitamos encontrar como desconocidos:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
x
-2
x
x
x
x
6
x
x
x
x
2
x
x
x
Para encontrar elementos desconocidos utilice la siguiente fórmula:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
;
Donde:
p1
es el elemento pivote anterior;
p2
es el elemento pivote actual;
a1
es el elemento de la matriz anterior, calculado en la iteración anterior;
a2
es el elemento de la siguiente matriz, calculado en la iteración actual;
i
es el número de fila;
j
es el número de columna;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
a2
0
1,3
=
a1
0
1,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
1,2
p1
=
2
*
11
-
-2
*
1
3
=
8
;
a2
0
1,4
=
a1
0
1,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
1,2
p1
=
0
*
11
-
6
*
1
3
=
-2
;
a2
0
1,5
=
a1
0
1,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
1,2
p1
=
1
*
11
-
2
*
1
3
=
3
;
a2
0
3,3
=
a1
0
3,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
3,2
p1
=
11
*
11
-
-2
*
1
3
=
41
;
a2
0
3,4
=
a1
0
3,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
3,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
1
3
=
9
;
a2
0
3,5
=
a1
0
3,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
3,2
p1
=
-2
*
11
-
2
*
1
3
=
-8
;
a2
0
4,3
=
a1
0
4,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
4,2
p1
=
3
*
11
-
-2
*
6
3
=
15
;
a2
0
4,4
=
a1
0
4,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
4,2
p1
=
9
*
11
-
6
*
6
3
=
21
;
a2
0
4,5
=
a1
0
4,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
4,2
p1
=
6
*
11
-
2
*
6
3
=
18
;
a2
0
5,3
=
a1
0
5,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
5,2
p1
=
4
*
11
-
-2
*
-1
3
=
14
;
a2
0
5,4
=
a1
0
5,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
5,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
-1
3
=
13
;
a2
0
5,5
=
a1
0
5,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
5,2
p1
=
11
*
11
-
2
*
-1
3
=
41
;
Ocultar descripción
4
Iteración 3El elemento pivote actual es igual al elemento de la matriz anterior (
A2
) con índices
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Calcule la matriz siguiente (
A3
) en función de la matriz anterior (
A2
);
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;
Reemplace todos los elementos de pivote anteriores con
p3
;
Escribe la matriz inicial
A3
y marca los elementos que necesitamos encontrar como desconocidos:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
x
x
9
x
x
x
x
-8
x
x
Para encontrar elementos desconocidos utilice la siguiente fórmula:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
;
Donde:
p2
es el elemento pivote anterior;
p3
es el elemento pivote actual;
a2
es el elemento de la matriz anterior, calculado en la iteración anterior;
a3
es el elemento de la siguiente matriz, calculado en la iteración actual;
i
es el número de fila;
j
es el número de columna;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
a3
0
1,4
=
a2
0
1,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
1,3
p2
=
-2
*
41
-
9
*
8
11
=
-14
;
a3
0
1,5
=
a2
0
1,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
1,3
p2
=
3
*
41
-
-8
*
8
11
=
17
;
a3
0
2,4
=
a2
0
2,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
2,3
p2
=
6
*
41
-
9
*
-2
11
=
24
;
a3
0
2,5
=
a2
0
2,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
2,3
p2
=
2
*
41
-
-8
*
-2
11
=
6
;
a3
0
4,4
=
a2
0
4,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
4,3
p2
=
21
*
41
-
9
*
15
11
=
66
;
a3
0
4,5
=
a2
0
4,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
4,3
p2
=
18
*
41
-
-8
*
15
11
=
78
;
a3
0
5,4
=
a2
0
5,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
5,3
p2
=
13
*
41
-
9
*
14
11
=
37
;
a3
0
5,5
=
a2
0
5,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
5,3
p2
=
41
*
41
-
-8
*
14
11
=
163
;
Ocultar descripción
5
Iteración 4El elemento pivote actual es igual al elemento de la matriz anterior (
A3
) con índices
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Calcule la matriz siguiente (
A4
) en función de la matriz anterior (
A3
);
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;
Reemplace todos los elementos de pivote anteriores con
p4
;
Escribe la matriz inicial
A4
y marca los elementos que necesitamos encontrar como desconocidos:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
x
x
x
78
x
Para encontrar elementos desconocidos utilice la siguiente fórmula:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
;
Donde:
p3
es el elemento pivote anterior;
p4
es el elemento pivote actual;
a3
es el elemento de la matriz anterior, calculado en la iteración anterior;
a4
es el elemento de la siguiente matriz, calculado en la iteración actual;
i
es el número de fila;
j
es el número de columna;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
a4
0
1,5
=
a3
0
1,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
1,4
p3
=
17
*
66
-
78
*
-14
41
=
54
;
a4
0
2,5
=
a3
0
2,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
2,4
p3
=
6
*
66
-
78
*
24
41
=
-36
;
a4
0
3,5
=
a3
0
3,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
3,4
p3
=
-8
*
66
-
78
*
9
41
=
-30
;
a4
0
5,5
=
a3
0
5,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
5,4
p3
=
163
*
66
-
78
*
37
41
=
192
;
Ocultar descripción
6
Iteración 5El elemento pivote actual es igual al elemento de la matriz anterior (
A4
) con índices
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Calcule la matriz siguiente (
A5
) en función de la matriz anterior (
A4
);
La línea en la que hay un elemento pivote se reescribe en la siguiente matriz sin cambios;
Escriba cero en todos los elementos de la columna en la que se encuentra el elemento pivote, excepto en el propio elemento pivote;
Reemplace todos los elementos de pivote anteriores con
p5
;
Escribe la matriz inicial
A5
y marca los elementos que necesitamos encontrar como desconocidos:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Como podemos ver, no hay elementos desconocidos, lo que significa que el cálculo de la matriz
A5
ya está completo;
7
Determinante de matrizdet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
Tamaño5×5MétodoMontante (algoritmo de Bareiss)