Sobre a calculadora de decomposição QR de matrizes
Esta é uma calculadora online gratuita de decomposição QR de matrizes com descrição completa, detalhada e passo a passo das soluções, que realiza operações com matrizes de até 99x99 elementos, sendo estes números decimais, frações, números complexos ou variáveis.
Para iniciar o cálculo, é necessário primeiro digitar o tamanho da matriz no campo de entrada que você encontra no topo da tela, podendo também escolher o método de cálculo desejado.
Um pouco abaixo você encontrará uma janela da matriz onde você precisa digitar os elementos usando o teclado. O painel de controle da matriz também está localizado aqui, o que simplifica o trabalho com matrizes e contém os seguintes elementos de controle:
- O primeiro elemento permite expandir a janela da matriz. Isso pode ser especialmente útil nos casos em que você precisa realizar cálculos com matrizes muito grandes que não cabem completamente. Se a matriz ainda não estiver visível após expandir a janela, você pode alterar a escala da matriz usando os botões + / -;
- O segundo elemento copia a matriz para a memória. Isso pode ser útil em casos onde você usa a mesma matriz com frequência para cálculos ou precisa movê-la entre operações.
- O último elemento insere a matriz copiada anteriormente, permitindo acelerar a entrada da matriz em apenas alguns cliques, em vez de fazê-lo manualmente.
Mais abaixo, você encontrará uma barra de ferramentas que permite personalizar a calculadora e facilitar o trabalho com ela. É dividida visualmente em três partes, cada uma responsável pela seguinte funcionalidade:
- A primeira permite selecionar o formato numérico para exibir o resultado da solução. Também aqui você pode desativar os comentários da solução do problema se já souber como resolvê-lo e usar a calculadora para acelerar ou verificar seus próprios cálculos. Ou você pode desativar completamente a solução passo a passo se precisar apenas do resultado.
- A segunda contém botões para alterar o tipo de campo de entrada da matriz, apagar seus elementos ou toda a matriz, e o botão maior com um sinal de igual, que o levará à tela com a solução do problema. Todos esses botões são duplicados por teclas do teclado. Para descobrir qual tecla pressionar, basta passar o mouse sobre um dos botões e uma dica aparecerá com o nome da tecla. Você também pode usar as setas do teclado para mover o cursor entre os campos de entrada da matriz.
- A última permite escolher o número de casas decimais para arredondar números não inteiros. Além disso, aqui você pode ver imediatamente um exemplo de como as frações arredondadas ficarão.
O que é a decomposição QR de uma matriz?
A decomposição QR é a fatoração de uma matriz dada em duas matrizes: uma matriz ortonormal e outra triangular superior. O produto dessas duas matrizes resulta na matriz original. A decomposição QR só pode ser aplicada a matrizes onde o número de colunas não excede o número de linhas.
Como fazer a decomposição QR de uma matriz usando Gram-Schmidt?
Primeiro, precisamos aplicar o processo de Gram-Schmidt (ortonormalização) às colunas da matriz dada. Os vetores resultantes serão as colunas da matriz ortonormal. Depois, para obter a matriz triangular superior, precisamos encontrar a matriz transposta da matriz ortonormal e multiplicá-la pela matriz original.
Como fazer a decomposição QR de uma matriz usando reflexões de Householder?
Primeiro, deve-se calcular o vetor de reflexão de Householder para cada coluna da matriz dada. Depois de aplicarmos a transformação de Householder a todas as colunas da matriz, a matriz transformada resultante será uma matriz triangular superior. A matriz ortonormal é obtida multiplicando todas as matrizes de Householder obtidas em cada etapa durante o cálculo da matriz triangular superior.
Como fazer a decomposição QR de uma matriz usando rotações de Givens?
Podemos usar rotações de Givens para zerar todos os elementos abaixo da diagonal principal de uma matriz dada, obtendo uma matriz triangular superior. Durante o cálculo da matriz triangular superior a cada iteração, calcularemos a matriz G para converter os elementos abaixo da diagonal principal em zero. Para obter uma matriz ortonormal, é necessário multiplicar todas as matrizes transpostas G.
Fontes
