Sobre a calculadora de decomposição de Schur
Esta é uma calculadora online gratuita de decomposição de Schur com descrição completa, detalhada e passo a passo das soluções, que realiza operações com matrizes de até 99x99 elementos, sendo estes números decimais, frações, números complexos ou variáveis.
Para iniciar o cálculo, é necessário primeiro digitar o tamanho da matriz no campo de entrada que você encontra no topo da tela, podendo também escolher o método de cálculo desejado.
Um pouco abaixo você encontrará uma janela da matriz onde você precisa digitar os elementos usando o teclado. O painel de controle da matriz também está localizado aqui, o que simplifica o trabalho com matrizes e contém os seguintes elementos de controle:
- O primeiro elemento permite expandir a janela da matriz. Isso pode ser especialmente útil nos casos em que você precisa realizar cálculos com matrizes muito grandes que não cabem completamente. Se a matriz ainda não estiver visível após expandir a janela, você pode alterar a escala da matriz usando os botões + / -;
- O segundo elemento copia a matriz para a memória. Isso pode ser útil em casos onde você usa a mesma matriz com frequência para cálculos ou precisa movê-la entre operações.
- O último elemento insere a matriz copiada anteriormente, permitindo acelerar a entrada da matriz em apenas alguns cliques, em vez de fazê-lo manualmente.
Mais abaixo, você encontrará uma barra de ferramentas que permite personalizar a calculadora e facilitar o trabalho com ela. É dividida visualmente em três partes, cada uma responsável pela seguinte funcionalidade:
- A primeira permite selecionar o formato numérico para exibir o resultado da solução. Também aqui você pode desativar os comentários da solução do problema se já souber como resolvê-lo e usar a calculadora para acelerar ou verificar seus próprios cálculos. Ou você pode desativar completamente a solução passo a passo se precisar apenas do resultado.
- A segunda contém botões para alterar o tipo de campo de entrada da matriz, apagar seus elementos ou toda a matriz, e o botão maior com um sinal de igual, que o levará à tela com a solução do problema. Todos esses botões são duplicados por teclas do teclado. Para descobrir qual tecla pressionar, basta passar o mouse sobre um dos botões e uma dica aparecerá com o nome da tecla. Você também pode usar as setas do teclado para mover o cursor entre os campos de entrada da matriz.
- A última permite escolher o número de casas decimais para arredondar números não inteiros. Além disso, aqui você pode ver imediatamente um exemplo de como as frações arredondadas ficarão.
O que é a decomposição de Schur de uma matriz?
A decomposição de Schur é a fatoração de uma matriz quadrada dada em três matrizes: uma delas é unitária (todos os módulos dos termos são iguais a 1), a segunda triangular superior e a terceira é a inversa da unitária. A diagonal principal da matriz triangular superior contém os autovalores da matriz original. O produto da matriz unitária com a matriz triangular superior e o inverso da matriz unitária deve resultar na matriz original.
Como realizar a decomposição de Schur de uma matriz?
Primeiro, precisamos encontrar os autovetores da matriz original. Em seguida, aplicamos o processo de Gram-Schmidt (ortonormalização) a eles, e os vetores resultantes serão as colunas da matriz unitária. Agora podemos calcular o inverso da matriz unitária. E depois disso, a matriz triangular superior pode ser encontrada multiplicando o inverso da matriz unitária pela matriz original e pela matriz unitária.
Fontes
