Giá trị riêng Máy tính

Định dạng số
Bình luận giải pháp
Không có mô tả (chỉ hiển thị kết quả)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Giải

  Về máy tính giá trị riêng của ma trận

Đây là máy tính giá trị riêng của ma trận trực tuyến miễn phí với mô tả giải pháp đầy đủ, chi tiết, từng bước, thực hiện các phép toán với ma trận có kích thước lên đến 20x20 với các phần tử ma trận thuộc loại này: số thập phân, phân số, số phức, biến.

Để bắt đầu tính toán, trước tiên bạn cần nhập kích thước của ma trận vào ô nhập liệu mà bạn có thể tìm thấy ở đầu màn hình, ngoài ra bạn cũng có thể chọn phương pháp tính toán mong muốn.

Ngay bên dưới bạn sẽ tìm thấy một cửa sổ ma trận trong đó bạn cần nhập các phần tử ma trận bằng bàn phím. Bảng điều khiển ma trận cũng nằm ở đây, giúp đơn giản hóa công việc với ma trận và chứa các phần tử điều khiển sau:

  • Phần tử đầu tiên cho phép bạn mở rộng cửa sổ ma trận. Điều này có thể đặc biệt hữu ích trong những trường hợp bạn cần thực hiện các phép tính với các ma trận rất lớn không vừa hoàn toàn. Nếu ma trận vẫn không hiển thị sau khi mở rộng cửa sổ, bạn có thể thay đổi kích thước của ma trận bằng các nút + / -;
  • Phần tử thứ hai thực hiện chức năng sao chép đầu vào ma trận vào bộ nhớ đệm. Điều này có thể hữu ích trong những trường hợp bạn thường sử dụng cùng một ma trận cho các phép tính hoặc nếu bạn cần di chuyển ma trận giữa các phép toán;
  • Và phần tử cuối cùng chèn ma trận đã sao chép trước đó, cho phép bạn tăng tốc quá trình nhập ma trận chỉ bằng vài cú nhấp chuột, thay vì phải làm thủ công;

Và ở phía dưới nữa, bạn sẽ tìm thấy thanh công cụ cho phép bạn tùy chỉnh máy tính và làm cho việc sử dụng nó dễ dàng hơn. Nó được chia thành ba phần theo cách trực quan, mỗi phần chịu trách nhiệm cho chức năng sau:

  • Phần đầu tiên cho phép bạn chọn định dạng số khi hiển thị kết quả giải pháp. Ngoài ra, ở đây bạn có thể tắt chú thích cho giải pháp của vấn đề nếu bạn đã hiểu cách giải quyết vấn đề này và bạn sử dụng máy tính để tăng tốc hoặc kiểm tra các tính toán của riêng mình. Hoặc bạn có thể tắt hoàn toàn giải pháp từng bước nếu bạn chỉ cần kết quả của giải pháp;
  • Phần thứ hai chứa các nút cho phép bạn thay đổi loại trường nhập ma trận, xóa các phần tử của nó hoặc toàn bộ ma trận và nút lớn nhất có dấu bằng, sẽ đưa bạn đến màn hình với giải pháp của vấn đề. Tất cả các nút này được nhân đôi bởi các phím trên bàn phím. Để tìm biết phím nào trên bàn phím cần nhấn, chỉ cần di chuột qua một trong các nút và sẽ xuất hiện một cửa sổ thông báo với tên của phím. Bạn cũng có thể sử dụng các phím mũi tên trên bàn phím để di chuyển con trỏ giữa các trường nhập ma trận;
  • Và phần cuối cùng cho phép bạn chọn số chữ số thập phân để làm tròn các số không nguyên. Ngoài ra, ở đây bạn có thể ngay lập tức xem ví dụ về cách các phân số được làm tròn sẽ trông như thế nào;

  Giá trị riêng của ma trận là gì?

Định nghĩa của giá trị riêng gắn liền với vectơ riêng. Vectơ riêng là vectơ mà hướng của chúng không thay đổi bởi phép biến đổi tuyến tính mà chỉ bị thu hẹp hoặc mở rộng theo một hệ số không đổi, và hệ số không đổi này chính là giá trị riêng mà vectơ riêng bị thu hẹp hoặc mở rộng khi áp dụng phép biến đổi tuyến tính.

  Cách tìm giá trị riêng của ma trận?

Trước tiên, chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng của ma trận đã cho, sau đó giải phương trình đó. Các nghiệm của phương trình đặc trưng của một ma trận nhất định cũng là các giá trị riêng của ma trận đó. Giá trị riêng chỉ có thể tính được cho các ma trận vuông.

  Ví dụ tìm giá trị riêng của ma trận

Viết ma trận ban đầu
A
:
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
Để tìm giá trị riêng của ma trận
A
, cần thực hiện các bước sau:
1)
Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A, cần thực hiện các bước sau:
Tạo một ma trận mới (A - λI) bằng cách trừ λ khỏi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A;
Tìm định thức của ma trận A - λI;
Cân bằng định thức của ma trận A - λI với 0;
2)
Giải đa thức đặc trưng của ma trận A;
3)
Các nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A cũng là các giá trị riêng của nó;
2
Form A − λ·I
Tạo ma trận
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
-
λ
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
Bây giờ cần tìm định thức của ma trận này;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)
det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
=
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
4
Đa thức đặc trưng
Chúng ta tìm được định thức sau của ma trận
A - λI
:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
Cân bằng định thức này với 0 và thu được đa thức đặc trưng của ma trận
A
:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Bây giờ chúng ta có thể giải phương trình này và các nghiệm của nó sẽ cho chúng ta các giá trị riêng của ma trận
A
;
5
Giải đa thức đặc trưng
Viết phương trình ban đầu của các nghiệm cần tìm:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
Như chúng ta có thể thấy từ phương trình, bậc tối đa của biến là
3
, điều này có nghĩa là chúng ta có phương trình thuộc loại sau:
aλ
3
0
+
bλ
2
0
+
cλ
+
d
= 0;
// trong đó
a
=
-1
;
b
=
87
;
c
=
-1109
;
d
=
2496
;
Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp Cardano, bao gồm đưa phương trình ban đầu về dạng lập phương suy giảm;
Dạng lập phương suy giảm có nghĩa là loại bỏ
λ
2
0
khỏi phương trình và có dạng sau:
t
3
0
+
pt
+
q
= 0;
// trong đó
t
=
x
+
b
3
a
;
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abs
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
;
Các nghiệm
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
của phương trình ban đầu liên quan đến các nghiệm
t
0
1
,
t
0
2
,
t
0
3
của phương trình suy giảm theo các mối quan hệ:
λ
0
i
=
t
0
i
-
b
3
a
, for
i
= 1, 2, 3;
Để tìm nghiệm của phương trình, trước tiên cần tìm biệt thức của phương trình suy giảm:
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
;
Sau đó, chúng ta có thể có ba trường hợp:
6
Trường hợp đặc biệt của công thức
Trường hợp
1
, khi
D = 0
Có ba nghiệm thực, nhưng nghiệm thứ hai và thứ ba bằng nhau:
t
0
1
=
3
q
p
;
t
0
2
=
t
0
3
= -
3
q
2
p
;
Trường hợp
2
, khi
D > 0
Chỉ có một nghiệm thực và hai nghiệm phức liên hợp không thực:
t
0
1
=
u
-
s
;
t
0
2
= -
u
-
s
2
+
3
2
(
u
+
s
)
i
;
t
0
3
= -
u
-
s
2
-
3
2
(
u
+
s
)
i
;
Trong đó:
u
=
3
-
q
2
-
D
;
s
=
p
3
u
;
Trường hợp
3
, khi
D < 0
Có ba nghiệm thực, nhưng các công thức biểu diễn các nghiệm này liên quan đến số phức. Tuy nhiên, biểu thức hoàn toàn thực của các nghiệm có thể được thu được bằng cách sử dụng các hàm lượng giác:
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
);
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
);
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
- 2
k
);
Trong đó:
u
=
2 *
-
p
3
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
);
k
=
2 *
π
3
;
7
Dạng lập phương suy giảm
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
=
3 *
-1
*
-1
-
87
2
0
3 *
-1
2
0
=
-1414
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abc
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
=
2 *
87
3
0
- 9 *
-1
*
87
*
-1109
+ 27 *
-1
2
0
*
2496
27 *
-1
3
0
=
-19113
;
Dạng lập phương suy giảm
:
t
3
0
-1414
t
-19113
= 0;
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
=
-19113
2
0
4
+
-1414
3
0
27
=
-13382416
79
100
;
8
Nghiệm
Vì
D < 0
nên chúng ta có trường hợp
3
;
Có ba nghiệm thực, nhưng các công thức biểu diễn các nghiệm này liên quan đến số phức. Tuy nhiên, biểu thức hoàn toàn thực của các nghiệm có thể được thu được bằng cách sử dụng các hàm lượng giác:
u
=
2 *
-
p
3
= 2 *
-
-1414
3
=
43
21
50
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
) =
1
3
*
arccos
(
3 *
-19113
-1414
*
43
21
50
)
=
3
25
;
k
=
2 *
π
3
=
2 * 3.14
3
=
2
9
100
;
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
) =
43
1
10
;
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
-
2
9
100
) =
-16
49
50
;
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
-
2
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
- 2 *
2
9
100
) =
-26
3
25
;
λ
0
1
=
t
0
1
-
b
3
a
=
43
1
10
-
87
3 *
-1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
t
0
2
-
b
3
a
=
-16
49
50
-
87
3 *
-1
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
t
0
3
-
b
3
a
=
-26
3
25
-
87
3 *
-1
=
2
22
25
;
Answer
det(A − λ · I) = 0
λ
0
1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
2
22
25
;
Kích thước3×3

  Máy tính liên quan

  Nguồn

Google PlayApp Store