Định dạng số
Bình luận giải pháp
Không có mô tả (chỉ hiển thị kết quả)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Về máy tính giá trị riêng của ma trận
Đây là máy tính giá trị riêng của ma trận trực tuyến miễn phí với mô tả giải pháp đầy đủ, chi tiết, từng bước, thực hiện các phép toán với ma trận có kích thước lên đến 99x99 với các phần tử ma trận thuộc loại này: số thập phân, phân số, số phức, biến.
Để bắt đầu tính toán, trước tiên bạn cần nhập kích thước của ma trận vào ô nhập liệu mà bạn có thể tìm thấy ở đầu màn hình, ngoài ra bạn cũng có thể chọn phương pháp tính toán mong muốn.
Ngay bên dưới bạn sẽ tìm thấy một cửa sổ ma trận trong đó bạn cần nhập các phần tử ma trận bằng bàn phím. Bảng điều khiển ma trận cũng nằm ở đây, giúp đơn giản hóa công việc với ma trận và chứa các phần tử điều khiển sau:
- Phần tử đầu tiên cho phép bạn mở rộng cửa sổ ma trận. Điều này có thể đặc biệt hữu ích trong những trường hợp bạn cần thực hiện các phép tính với các ma trận rất lớn không vừa hoàn toàn. Nếu ma trận vẫn không hiển thị sau khi mở rộng cửa sổ, bạn có thể thay đổi kích thước của ma trận bằng các nút + / -;
- Phần tử thứ hai thực hiện chức năng sao chép đầu vào ma trận vào bộ nhớ đệm. Điều này có thể hữu ích trong những trường hợp bạn thường sử dụng cùng một ma trận cho các phép tính hoặc nếu bạn cần di chuyển ma trận giữa các phép toán;
- Và phần tử cuối cùng chèn ma trận đã sao chép trước đó, cho phép bạn tăng tốc quá trình nhập ma trận chỉ bằng vài cú nhấp chuột, thay vì phải làm thủ công;
Và ở phía dưới nữa, bạn sẽ tìm thấy thanh công cụ cho phép bạn tùy chỉnh máy tính và làm cho việc sử dụng nó dễ dàng hơn. Nó được chia thành ba phần theo cách trực quan, mỗi phần chịu trách nhiệm cho chức năng sau:
- Phần đầu tiên cho phép bạn chọn định dạng số khi hiển thị kết quả giải pháp. Ngoài ra, ở đây bạn có thể tắt chú thích cho giải pháp của vấn đề nếu bạn đã hiểu cách giải quyết vấn đề này và bạn sử dụng máy tính để tăng tốc hoặc kiểm tra các tính toán của riêng mình. Hoặc bạn có thể tắt hoàn toàn giải pháp từng bước nếu bạn chỉ cần kết quả của giải pháp;
- Phần thứ hai chứa các nút cho phép bạn thay đổi loại trường nhập ma trận, xóa các phần tử của nó hoặc toàn bộ ma trận và nút lớn nhất có dấu bằng, sẽ đưa bạn đến màn hình với giải pháp của vấn đề. Tất cả các nút này được nhân đôi bởi các phím trên bàn phím. Để tìm biết phím nào trên bàn phím cần nhấn, chỉ cần di chuột qua một trong các nút và sẽ xuất hiện một cửa sổ thông báo với tên của phím. Bạn cũng có thể sử dụng các phím mũi tên trên bàn phím để di chuyển con trỏ giữa các trường nhập ma trận;
- Và phần cuối cùng cho phép bạn chọn số chữ số thập phân để làm tròn các số không nguyên. Ngoài ra, ở đây bạn có thể ngay lập tức xem ví dụ về cách các phân số được làm tròn sẽ trông như thế nào;
Giá trị riêng của ma trận là gì?
Định nghĩa của giá trị riêng gắn liền với vectơ riêng. Vectơ riêng là vectơ mà hướng của chúng không thay đổi bởi phép biến đổi tuyến tính mà chỉ bị thu hẹp hoặc mở rộng theo một hệ số không đổi, và hệ số không đổi này chính là giá trị riêng mà vectơ riêng bị thu hẹp hoặc mở rộng khi áp dụng phép biến đổi tuyến tính.
Cách tìm giá trị riêng của ma trận?
Trước tiên, chúng ta cần tìm phương trình đặc trưng của ma trận đã cho, sau đó giải phương trình đó. Các nghiệm của phương trình đặc trưng của một ma trận nhất định cũng là các giá trị riêng của ma trận đó. Giá trị riêng chỉ có thể tính được cho các ma trận vuông.
Ví dụ tìm giá trị riêng của ma trận
Viết ma trận ban đầu
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
Để tìm giá trị riêng của ma trận
A
, cần thực hiện các bước sau:
1)
Tìm đa thức đặc trưng của ma trận A, cần thực hiện các bước sau: Tạo một ma trận mới (A - λI) bằng cách trừ λ khỏi tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận A;
Tìm định thức của ma trận A - λI;
Cân bằng định thức của ma trận A - λI với 0;
2)
Giải đa thức đặc trưng của ma trận A;3)
Các nghiệm của đa thức đặc trưng của ma trận A cũng là các giá trị riêng của nó;2
Form A − λ·ITạo ma trận
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
Bây giờ cần tìm định thức của ma trận này;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
Đa thức đặc trưngChúng ta tìm được định thức sau của ma trận
A - λI
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
Cân bằng định thức này với 0 và thu được đa thức đặc trưng của ma trận
A
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Bây giờ chúng ta có thể giải phương trình này và các nghiệm của nó sẽ cho chúng ta các giá trị riêng của ma trận
A
;
5
Giải đa thức đặc trưngViết phương trình ban đầu của các nghiệm cần tìm:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Như chúng ta có thể thấy từ phương trình, bậc tối đa của biến là
4
, điều này có nghĩa là chúng ta có phương trình thuộc loại sau:
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
Để giải phương trình này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp Ferrari, bao gồm đưa phương trình ban đầu về dạng bậc bốn suy giảm;
Dạng bậc bốn suy giảm có nghĩa là loại bỏ
λ
3
0
khỏi phương trình và có dạng sau:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
Ngoài ra, nếu
a
không bằng
1
, thì trước khi đưa phương trình về dạng bậc bốn suy giảm, cần chia tất cả các hệ số của phương trình cho
a
và trước đó lưu trữ các giá trị của
a
và
b
trong các biến
aOrigin
và
bOrigin
, vì sau này chúng ta sẽ cần các giá trị này để giải phương trình:
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
Tiếp theo, theo phương pháp Ferrari, cần tìm phương trình bậc ba tương đương với phương trình bậc bốn suy giảm sau:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
Bây giờ cần giải phương trình bậc ba thu được, chẳng hạn như bằng phương pháp Cardano;
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
là các nghiệm của phương trình bậc ba;
Cuối cùng, chúng ta có thể tìm các nghiệm
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
của phương trình ban đầu:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
Đây là công thức tổng quát cho
y
0
1
> 0
và
y
0
3
> 0
, các trường hợp đặc biệt của công thức được mô tả bên dưới;
6
Trường hợp đặc biệt của công thứcy
0
1
> 0
và
y
0
2
= 0
và
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
và
y
0
2
> 0
và
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
và
y
0
2
> 0
và
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Trong các trường hợp sau, phương trình sẽ có các nghiệm phức liên hợp không thực;
Nếu
y
0
2
và
y
0
3
là các số phức, hoặc
y
0
2
< 0
và
y
0
3
< 0
:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
và
y
0
2
< 0
và
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Đối với mỗi trường hợp:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
Dạng bậc bốn suy giảmChia từng hệ số bởi a:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
Bây giờ chúng ta có thể tìm các hệ số của phương trình bậc bốn suy giảm:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
Dạng bậc bốn suy giảm
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
Phương trình bậc bam
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
Phương trình bậc ba
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
Giải phương trình này bằng phương pháp Cardano:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
NghiệmP
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
Kích thước4×4