Phân tích giá trị kỳ dị Máy tính

Định dạng số
Bình luận giải pháp
Không có mô tả (chỉ hiển thị kết quả)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  Về Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) của ma trận

Đây là máy tính Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) của ma trận trực tuyến miễn phí với mô tả giải pháp đầy đủ, chi tiết, từng bước, thực hiện các phép toán với ma trận có kích thước lên đến 99x99 với các phần tử ma trận thuộc loại này: số thập phân, phân số, số phức, biến.

Để bắt đầu tính toán, trước tiên bạn cần nhập kích thước của ma trận vào ô nhập liệu mà bạn có thể tìm thấy ở đầu màn hình, ngoài ra bạn cũng có thể chọn phương pháp tính toán mong muốn.

Ngay bên dưới bạn sẽ tìm thấy một cửa sổ ma trận trong đó bạn cần nhập các phần tử ma trận bằng bàn phím. Bảng điều khiển ma trận cũng nằm ở đây, giúp đơn giản hóa công việc với ma trận và chứa các phần tử điều khiển sau:

  • Phần tử đầu tiên cho phép bạn mở rộng cửa sổ ma trận. Điều này có thể đặc biệt hữu ích trong những trường hợp bạn cần thực hiện các phép tính với các ma trận rất lớn không vừa hoàn toàn. Nếu ma trận vẫn không hiển thị sau khi mở rộng cửa sổ, bạn có thể thay đổi kích thước của ma trận bằng các nút + / -;
  • Phần tử thứ hai thực hiện chức năng sao chép đầu vào ma trận vào bộ nhớ đệm. Điều này có thể hữu ích trong những trường hợp bạn thường sử dụng cùng một ma trận cho các phép tính hoặc nếu bạn cần di chuyển ma trận giữa các phép toán;
  • Và phần tử cuối cùng chèn ma trận đã sao chép trước đó, cho phép bạn tăng tốc quá trình nhập ma trận chỉ bằng vài cú nhấp chuột, thay vì phải làm thủ công;

Và ở phía dưới nữa, bạn sẽ tìm thấy thanh công cụ cho phép bạn tùy chỉnh máy tính và làm cho việc sử dụng nó dễ dàng hơn. Nó được chia thành ba phần theo cách trực quan, mỗi phần chịu trách nhiệm cho chức năng sau:

  • Phần đầu tiên cho phép bạn chọn định dạng số khi hiển thị kết quả giải pháp. Ngoài ra, ở đây bạn có thể tắt chú thích cho giải pháp của vấn đề nếu bạn đã hiểu cách giải quyết vấn đề này và bạn sử dụng máy tính để tăng tốc hoặc kiểm tra các tính toán của riêng mình. Hoặc bạn có thể tắt hoàn toàn giải pháp từng bước nếu bạn chỉ cần kết quả của giải pháp;
  • Phần thứ hai chứa các nút cho phép bạn thay đổi loại trường nhập ma trận, xóa các phần tử của nó hoặc toàn bộ ma trận và nút lớn nhất có dấu bằng, sẽ đưa bạn đến màn hình với giải pháp của vấn đề. Tất cả các nút này được nhân đôi bởi các phím trên bàn phím. Để tìm biết phím nào trên bàn phím cần nhấn, chỉ cần di chuột qua một trong các nút và sẽ xuất hiện một cửa sổ thông báo với tên của phím. Bạn cũng có thể sử dụng các phím mũi tên trên bàn phím để di chuyển con trỏ giữa các trường nhập ma trận;
  • Và phần cuối cùng cho phép bạn chọn số chữ số thập phân để làm tròn các số không nguyên. Ngoài ra, ở đây bạn có thể ngay lập tức xem ví dụ về cách các phân số được làm tròn sẽ trông như thế nào;

  Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) của ma trận là gì?

Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) là việc phân tích một ma trận thực hoặc phức hợp thành ba ma trận: một là ma trận đơn vị phức hợp n x n, thứ hai là ma trận đường chéo hình chữ nhật n x m với các giá trị đặc biệt (số thực không âm) trên đường chéo, và thứ ba là ma trận đơn vị phức hợp chuyển vị liên hợp m x m. Tích của một ma trận đơn vị n x n với một ma trận đường chéo hình chữ nhật n x m và một ma trận đơn vị phức hợp chuyển vị liên hợp m x m sẽ cho ra ma trận ban đầu.

  Cách thực hiện Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) của ma trận?

Chúng ta cần tìm ma trận Hermitian đầu tiên của ma trận ban đầu bằng cách nhân ma trận ban đầu với ma trận chuyển vị của nó. Sau đó, chúng ta cần tìm ma trận Hermitian thứ hai của ma trận ban đầu bằng cách nhân ma trận chuyển vị của ma trận ban đầu với chính nó. Sau đó, chúng ta cần tính các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận Hermitian đầu tiên. Bây giờ, chúng ta cần tính các giá trị đặc biệt bằng cách lấy căn bậc hai của mỗi giá trị riêng dương của ma trận Hermitian đầu tiên. Điều này sẽ cho phép chúng ta xây dựng một ma trận đường chéo hình chữ nhật bằng cách đặt các giá trị đặc biệt trên đường chéo chính và điền tất cả các phần tử khác của ma trận bằng 0. Đồng thời ở bước này, chúng ta có thể tìm thấy ma trận đơn vị phức hợp n x n bằng cách chuẩn hóa các vectơ riêng của ma trận Hermitian đầu tiên và đặt chúng làm các cột của ma trận đơn vị phức hợp n x n. Sau đó, chúng ta cần tìm các vectơ riêng của ma trận Hermitian thứ hai, chuẩn hóa chúng và đặt chúng làm các cột của ma trận đơn vị phức hợp m x m. Và bây giờ chỉ còn lại việc tìm ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận đơn vị phức hợp m x m.

  Ví dụ Phân tách Giá Trị Đặc Biệt (SVD) của ma trận

Viết ma trận ban đầu
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
Phân tích thành các giá trị riêng suy biến (Singular Value Decomposition) là cách biểu diễn ma trận
A
dưới dạng:
A
=
U
*
Σ
*
V
*
0
;
Ma trận
U
là ma trận phức酉 (complex unitary matrix) kích thước
n
x
n
;
Ma trận
Σ
là một ma trận có cùng kích thước với ma trận
A
(
n
x
m
), trong đó các giá trị riêng suy biến nằm trên đường chéo chính và tất cả các phần tử khác đều bằng 0;
Ma trận
V
là ma trận phức酉 (complex unitary matrix) kích thước
m
x
m
;
Ma trận
V
*
0
là ma trận giao hoán phức của ma trận
V
;
// trong đó
n
là số hàng của ma trận A
m
là số cột của ma trận A
Để thực hiện phân tích thành các giá trị riêng suy biến của ma trận
A
, cần thực hiện các bước sau:
1)
Tính ma trận H₁ bằng cách sử dụng công thức này
H₁
=
A
*
A
T
0
;
2)
Tính ma trận H₂ bằng cách sử dụng công thức này
H₂
=
A
T
0
*
A
;
3)
Tính các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận H₁
4)
Tính các giá trị riêng suy biến bằng cách lấy căn bậc hai của mỗi giá trị riêng dương của ma trận H₁
5)
Sắp xếp các giá trị riêng suy biến theo thứ tự giảm dần và đặt chúng trên đường chéo chính của ma trận Σ, điền các phần tử khác của ma trận bằng 0
6)
Chuẩn hóa các vectơ riêng của ma trận H₁ và đặt chúng làm các cột của ma trận U
7)
Tính các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận H₂
8)
Chuẩn hóa các vectơ riêng của ma trận H₂ và đặt chúng làm các cột của ma trận V
9)
Tính ma trận giao hoán phức (V*) của ma trận V
2
Ma trận Aᵀ
A
T
0
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
a
T
0
0
1,1
=
a
0
1,1
=
71
;
a
T
0
0
1,2
=
a
0
2,1
=
7
;
a
T
0
0
1,3
=
a
0
3,1
=
2
;
a
T
0
0
1,4
=
a
0
4,1
=
4
;
a
T
0
0
2,1
=
a
0
1,2
=
8
;
a
T
0
0
2,2
=
a
0
2,2
=
8
;
a
T
0
0
2,3
=
a
0
3,2
=
5
;
a
T
0
0
2,4
=
a
0
4,2
=
5
;
a
T
0
0
3,1
=
a
0
1,3
=
5
;
a
T
0
0
3,2
=
a
0
2,3
=
5
;
a
T
0
0
3,3
=
a
0
3,3
=
8
;
a
T
0
0
3,4
=
a
0
4,3
=
5
;
a
T
0
0
4,1
=
a
0
1,4
=
2
;
a
T
0
0
4,2
=
a
0
2,4
=
2
;
a
T
0
0
4,3
=
a
0
3,4
=
7
;
a
T
0
0
4,4
=
a
0
4,4
=
2
;
Ẩn mô tả
16 phần tử
3
Ma trận H₁
H1
=
A
·
A
T
0
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
·
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
=
5134
590
236
353
590
142
108
97
236
108
142
87
353
97
87
70
h1
0
1,1
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,1
=
71
*
71
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
5134
;
h1
0
1,2
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,2
=
71
*
7
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
590
;
h1
0
1,3
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,3
=
71
*
2
+
8
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
236
;
h1
0
1,4
=
a
0
1,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
1,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
1,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
1,4
·
a
T
0
0
4,4
=
71
*
4
+
8
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
353
;
h1
0
2,1
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,1
=
7
*
71
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
590
;
h1
0
2,2
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,2
=
7
*
7
+
8
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
142
;
h1
0
2,3
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,3
=
7
*
2
+
8
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
108
;
h1
0
2,4
=
a
0
2,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
2,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
2,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
2,4
·
a
T
0
0
4,4
=
7
*
4
+
8
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
97
;
h1
0
3,1
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,1
=
2
*
71
+
5
*
8
+
8
*
5
+
7
*
2
=
236
;
h1
0
3,2
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,2
=
2
*
7
+
5
*
8
+
8
*
5
+
7
*
2
=
108
;
h1
0
3,3
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,3
=
2
*
2
+
5
*
5
+
8
*
8
+
7
*
7
=
142
;
h1
0
3,4
=
a
0
3,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
3,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
3,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
3,4
·
a
T
0
0
4,4
=
2
*
4
+
5
*
5
+
8
*
5
+
7
*
2
=
87
;
h1
0
4,1
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,1
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,1
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,1
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,1
=
4
*
71
+
5
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
353
;
h1
0
4,2
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,2
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,2
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,2
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,2
=
4
*
7
+
5
*
8
+
5
*
5
+
2
*
2
=
97
;
h1
0
4,3
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,3
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,3
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,3
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,3
=
4
*
2
+
5
*
5
+
5
*
8
+
2
*
7
=
87
;
h1
0
4,4
=
a
0
4,1
·
a
T
0
0
1,4
+
a
0
4,2
·
a
T
0
0
2,4
+
a
0
4,3
·
a
T
0
0
3,4
+
a
0
4,4
·
a
T
0
0
4,4
=
4
*
4
+
5
*
5
+
5
*
5
+
2
*
2
=
70
;
Ẩn mô tả
16 phần tử
4
Ma trận H₂
H2
=
A
T
0
·
A
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
·
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
=
5110
654
426
178
654
178
145
77
426
145
139
86
178
77
86
61
h2
0
1,1
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,1
=
71
*
71
+
7
*
7
+
2
*
2
+
4
*
4
=
5110
;
h2
0
1,2
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,2
=
71
*
8
+
7
*
8
+
2
*
5
+
4
*
5
=
654
;
h2
0
1,3
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,3
=
71
*
5
+
7
*
5
+
2
*
8
+
4
*
5
=
426
;
h2
0
1,4
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,4
=
71
*
2
+
7
*
2
+
2
*
7
+
4
*
2
=
178
;
h2
0
2,1
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,1
=
8
*
71
+
8
*
7
+
5
*
2
+
5
*
4
=
654
;
h2
0
2,2
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,2
=
8
*
8
+
8
*
8
+
5
*
5
+
5
*
5
=
178
;
h2
0
2,3
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,3
=
8
*
5
+
8
*
5
+
5
*
8
+
5
*
5
=
145
;
h2
0
2,4
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,4
=
8
*
2
+
8
*
2
+
5
*
7
+
5
*
2
=
77
;
h2
0
3,1
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,1
=
5
*
71
+
5
*
7
+
8
*
2
+
5
*
4
=
426
;
h2
0
3,2
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,2
=
5
*
8
+
5
*
8
+
8
*
5
+
5
*
5
=
145
;
h2
0
3,3
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,3
=
5
*
5
+
5
*
5
+
8
*
8
+
5
*
5
=
139
;
h2
0
3,4
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,4
=
5
*
2
+
5
*
2
+
8
*
7
+
5
*
2
=
86
;
h2
0
4,1
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,1
=
2
*
71
+
2
*
7
+
7
*
2
+
2
*
4
=
178
;
h2
0
4,2
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,2
=
2
*
8
+
2
*
8
+
7
*
5
+
2
*
5
=
77
;
h2
0
4,3
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,3
=
2
*
5
+
2
*
5
+
7
*
8
+
2
*
5
=
86
;
h2
0
4,4
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,4
=
2
*
2
+
2
*
2
+
7
*
7
+
2
*
2
=
61
;
Ẩn mô tả
16 phần tử
5
Các vectơ riêng H₁
14
97
4863
1
21
32
87
124
1
-
91
305
1
40
197
1
52
75
1
-
31
110
2
96
103
-2
57
79
1
95
37576
-
29
54
-
4
19
1
6
Ma trận Σ
Σ
=
5240
73
107
0
0
0
0
228
17
30
0
0
0
0
18
31
216
0
0
0
0
68
111
=
72
52
133
0
0
0
0
15
12
101
0
0
0
0
4
13
50
0
0
0
0
64
81
7
Chuẩn hóa trực giao H₁
U
=
95
96
2
17
73
1461
77
1090
-
67
516
61
117
50
69
72
167
-
82
1203
67
95
-
43
65
13
53
27
12365
-
7
15
-
46
251
97
112
8
Các vectơ riêng H₂
26
20
43
3
1
2
2
19
58
1
-
13
38
1
61
189
1
43
91
1
45
581
-1
89
1255
49
163
1
-
17
1772
35
59
-1
86
401
1
9
Chuẩn hóa trực giao H₂
V
=
61
62
75
574
55
624
77
2048
-
53
346
87
148
79
120
69
154
33
632
-
5
7
65
323
64
95
-
15
2611
79
223
-
73
101
89
149
10
Ma trận Vᵀ
V
T
0
=
61
62
-
53
346
33
632
-
15
2611
75
574
87
148
-
5
7
79
223
55
624
79
120
65
323
-
73
101
77
2048
69
154
64
95
89
149
V
T
0
0
1,1
=
v
0
1,1
=
61
62
;
V
T
0
0
1,2
=
v
0
2,1
=
75
574
;
V
T
0
0
1,3
=
v
0
3,1
=
55
624
;
V
T
0
0
1,4
=
v
0
4,1
=
77
2048
;
V
T
0
0
2,1
=
v
0
1,2
=
-
53
346
;
V
T
0
0
2,2
=
v
0
2,2
=
87
148
;
V
T
0
0
2,3
=
v
0
3,2
=
79
120
;
V
T
0
0
2,4
=
v
0
4,2
=
69
154
;
V
T
0
0
3,1
=
v
0
1,3
=
33
632
;
V
T
0
0
3,2
=
v
0
2,3
=
-
5
7
;
V
T
0
0
3,3
=
v
0
3,3
=
65
323
;
V
T
0
0
3,4
=
v
0
4,3
=
64
95
;
V
T
0
0
4,1
=
v
0
1,4
=
-
15
2611
;
V
T
0
0
4,2
=
v
0
2,4
=
79
223
;
V
T
0
0
4,3
=
v
0
3,4
=
-
73
101
;
V
T
0
0
4,4
=
v
0
4,4
=
89
149
;
Ẩn mô tả
16 phần tử
Answer
A = U · Σ · Vᵀ
U
=
95
96
2
17
73
1461
77
1090
-
67
516
61
117
50
69
72
167
-
82
1203
67
95
-
43
65
13
53
27
12365
-
7
15
-
46
251
97
112
Σ
=
72
52
133
0
0
0
0
15
12
101
0
0
0
0
4
13
50
0
0
0
0
64
81
V
T
0
=
61
62
-
53
346
33
632
-
15
2611
75
574
87
148
-
5
7
79
223
55
624
79
120
65
323
-
73
101
77
2048
69
154
64
95
89
149
Kích thước4×4

  Máy tính liên quan

  Nguồn

Google PlayApp Store