Eigenwerte Rechner

Zahlenformat
Lösungskommentare
Ohne Beschreibung (nur Antwort)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  Über den Matrizen-Eigenwert-Rechner

Dies ist ein kostenloser Online-Matrizen-Eigenwert-Rechner mit vollständiger, detaillierter, schrittweiser Beschreibung der Lösungen, die Operationen mit Matrizen bis zu einer Größe von 99x99 mit Matrixelementen der folgenden Typen durchführt: Dezimalzahlen, Brüche, komplexe Zahlen, Variablen.

Um die Berechnung zu starten, müssen Sie zunächst die Größe der Matrix in das Eingabefeld eingeben, das Sie ganz oben auf dem Bildschirm finden können. Dort können Sie auch die gewünschte Berechnungsmethode auswählen.

Etwas weiter unten finden Sie ein Matrixfenster, in das Sie die Matrixelemente mit der Tastatur eingeben müssen. Hier befindet sich auch das Matrix-Kontrollfeld, das die Arbeit mit Matrizen vereinfacht und die folgenden Steuerelemente enthält:

  • Das erste Element ermöglicht es Ihnen, das Matrixfenster zu vergrößern. Dies kann besonders nützlich sein, wenn Sie Berechnungen mit sehr großen Matrizen durchführen müssen, die nicht vollständig in das Fenster passen. Wenn die Matrix auch nach dem Vergrößern des Fensters nicht vollständig sichtbar ist, können Sie die Skalierung der Matrix mit den Tasten + / - ändern.
  • Das zweite Element übernimmt die Funktion, die Matrixeingabe in den Zwischenspeicher zu kopieren. Dies kann nützlich sein, wenn Sie häufig die gleiche Matrix für Berechnungen verwenden oder wenn Sie Matrizen zwischen verschiedenen Operationen verschieben müssen.
  • Und das letzte Element fügt die zuvor kopierte Matrix ein, was den Eingabeprozess der Matrix auf wenige Klicks beschleunigt, anstatt sie manuell einzugeben.

Noch weiter unten finden Sie eine Symbolleiste, mit der Sie den Rechner anpassen und die Arbeit mit ihm erleichtern können. Sie ist visuell in drei Teile unterteilt, die jeweils für die folgenden Funktionen verantwortlich sind:

  • Der erste Teil ermöglicht Ihnen die Auswahl des Zahlenformats bei der Anzeige des Lösungsergebnisses. Außerdem können Sie hier die Kommentare zur Lösung des Problems ausschalten, wenn Sie bereits verstanden haben, wie das Problem zu lösen ist, und den Rechner nur zur Beschleunigung oder Überprüfung Ihrer eigenen Berechnungen verwenden. Oder Sie können die schrittweise Lösung ganz abschalten, wenn Sie nur das Ergebnis der Lösung benötigen.
  • Der zweite Teil enthält Schaltflächen, mit denen Sie den Typ des Matrixeingabefelds ändern, dessen Elemente oder die gesamte Matrix löschen können, und die größte Schaltfläche mit einem Gleichheitszeichen, die Sie zum Bildschirm mit der Lösung des Problems führt. Alle diese Schaltflächen sind durch Tasten auf der Tastatur dupliziert. Um herauszufinden, welche Taste auf der Tastatur Sie drücken müssen, bewegen Sie einfach den Mauszeiger über eine der Schaltflächen und es erscheint ein Hinweis mit dem Namen der Taste. Sie können auch die Pfeiltasten auf Ihrer Tastatur verwenden, um den Cursor zwischen den Matrixeingabefeldern zu bewegen.
  • Und der letzte Teil ermöglicht Ihnen die Auswahl der Anzahl der Nachkommastellen für die Rundung von nicht ganzzahligen Zahlen. Außerdem können Sie hier sofort ein Beispiel sehen, wie die gerundeten Brüche aussehen werden.

  Was sind Eigenwerte einer Matrix?

Die Definition von Eigenwerten ist eng mit Eigenvektoren verknüpft. Eigenvektoren sind Vektoren, deren Richtungen durch die lineare Transformation nicht verändert werden, sondern nur um einen konstanten Faktor skaliert werden. Dieser konstante Faktor, um den die Eigenvektoren während der linearen Transformation skaliert werden, ist der Eigenwert.

  Wie findet man die Eigenwerte einer Matrix?

Zuerst müssen wir die charakteristische Gleichung der gegebenen Matrix bestimmen und dann lösen. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung einer gegebenen Matrix sind auch die Eigenwerte dieser Matrix. Die Eigenwerte einer Matrix können nur für quadratische Matrizen berechnet werden.

  Beispiel für die Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix

Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
Um die Eigenwerte der Matrix
A
zu finden, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:
1)
Finden Sie die charakteristische Gleichung der Matrix A. Dazu müssen Sie Folgendes tun:
Bilden Sie eine neue Matrix (A - λI), indem Sie λ von allen Elementen der Hauptdiagonale der Matrix A abziehen;
Finden Sie die Determinante der Matrix A - λI;
Setzen Sie die Determinante der Matrix A - λI gleich Null;
2)
Lösen Sie die charakteristische Gleichung der Matrix A;
3)
Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung der Matrix A sind auch ihre Eigenwerte;
2
Form A − λ·I
Bilden Sie die Matrix
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
Nun muss die Determinante dieser Matrix gefunden werden;
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)
det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
Charakteristische Gleichung
Wir haben die folgende Determinante der Matrix
A - λI
gefunden:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
Setzen Sie diese Determinante gleich Null und erhalten Sie die charakteristische Gleichung der Matrix
A
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Nun können wir diese Gleichung lösen und ihre Wurzeln geben uns die Eigenwerte der Matrix
A
;
5
Lösung der charakteristischen Gleichung
Schreiben Sie die ursprüngliche Gleichung, deren Wurzeln gesucht werden müssen:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Wie aus der Gleichung ersichtlich ist, ist der maximale Grad der Variablen
4
, was bedeutet, dass wir eine Gleichung vom folgenden Typ haben:
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
// wobei
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
Um diese Gleichung zu lösen, können wir die Ferrari-Methode verwenden, bei der die ursprüngliche Gleichung in eine reduzierte Quarte Form gebracht wird;
Reduzierte Quarte Form bedeutet die Entfernung von
λ
3
0
aus der Gleichung und hat folgende Form:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
// wobei
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
Außerdem, wenn
a
ungleich
1
ist, müssen vor dem Bringen der Gleichung auf eine reduzierte Quarte Form alle Koeffizienten der Gleichung durch
a
geteilt und vorher die Werte von
a
und
b
in den Variablen
aOrigin
und
bOrigin
gespeichert werden, da wir diese Werte später zum Lösen der Gleichung benötigen:
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
Weiterhin ist es nach der Ferrari-Methode notwendig, die folgende kubische Gleichung zu finden, die der Gleichung einer reduzierten Quarte Form entspricht:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
// wobei
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
Nun müssen Sie die resultierende kubische Gleichung lösen, beispielsweise mit der Cardano-Methode;
// wobei
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
sind die Wurzeln der kubischen Gleichung;
Schließlich können wir die Wurzeln
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
der ursprünglichen Gleichung finden:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
// wobei
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
Dies ist eine allgemeine Formel für
y
0
1
> 0
und
y
0
3
> 0
, Sonderfälle der Formel sind unten beschrieben;
6
Sonderfälle der Formel
y
0
1
> 0
und
y
0
2
= 0
und
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
und
y
0
2
> 0
und
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
und
y
0
2
> 0
und
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
In den folgenden Fällen hat die Gleichung nicht-reelle, komplex konjugierte Wurzeln;
Wenn
y
0
2
und
,
y
0
3
komplexe Zahlen sind, oder
y
0
2
< 0
und
y
0
3
< 0
:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
und
y
0
2
< 0
und
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Für jeden Fall:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
Reduzierte Quarte Form
Teilen Sie jeden Koeffizienten durch a:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
Jetzt können wir die Koeffizienten der Gleichung der reduzierten Quarte Form finden:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
Reduzierte Quarte Form
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
Kubische Gleichung
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
Kubische Gleichung
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
Lösen Sie diese Gleichung mit der Cardano-Methode:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
Wurzeln
P
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0
λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
Größe4×4

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  Quellen

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