Matrix Operations ist ein kostenloser Online-Matrizenrechner, der jeden Lösungsschritt zeigt und nicht nur das Ergebnis. Wählen Sie eine der 25 Operationen unten, geben Sie Ihre Matrix ein und erhalten Sie eine Lösung, die Sie Zeile für Zeile nachvollziehen können. Er verarbeitet Dezimalzahlen, Brüche, komplexe Zahlen und Variablen in Matrizen bis 20×20, ohne Anmeldung.

Alle Matrixoperationen

Arithmetik

Matrixaddition — RechnerZwei gleich große Matrizen elementweise addieren.
Matrixsubtraktion — RechnerEine Matrix elementweise von einer anderen gleicher Größe subtrahieren.
Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl — RechnerJedes Element einer Matrix mit einer Zahl multiplizieren.
Matrixmultiplikation — RechnerZwei Matrizen nach der Zeile-mal-Spalte-Regel multiplizieren, jedes Element ausgerechnet.
Potenz einer Matrix — RechnerEine quadratische Matrix durch wiederholtes Multiplizieren potenzieren.

Eigenschaften

Determinante einer Matrix — RechnerDeterminante per Laplace-Entwicklung, Regel von Sarrus, Zeilenumformung oder Bareiss-Algorithmus.
Inverse einer Matrix — RechnerQuadratische Matrix per Gauß-Jordan, Adjunkte oder Bareiss-Algorithmus invertieren.
Matrixminor — RechnerMinor eines Elements: die Determinante nach Streichen seiner Zeile und Spalte.
Matrixkofaktor — RechnerVorzeichenbehaftete Minoren berechnen und die Kofaktormatrix aufstellen.
Adjugierte Matrix — RechnerDie Adjunkte aufstellen, die Transponierte der Kofaktormatrix.
Rang einer Matrix — RechnerRang per Zeilenumformung oder Methode der umrandenden Minoren.

Transformationen

Transponierte Matrix — RechnerZeilen und Spalten einer Matrix vertauschen.
Konjugierte Matrix — RechnerJedes komplexe Element durch sein konjugiert Komplexes ersetzen.
Quadratwurzel — RechnerEine Matrix finden, deren Quadrat die eingegebene Matrix ist.

Gleichungen

Matrixgleichungen — RechnerAX = B oder XA = B nach der unbekannten Matrix X lösen.
Lineares Gleichungssystem — RechnerLineares Gleichungssystem per Gauß, Gauß-Jordan, Cramer oder inverser Matrix lösen.

Eigenwerte

Eigenwerte — RechnerDas charakteristische Polynom aufstellen und alle Nullstellen finden.
Eigenvektoren — RechnerDie Eigenvektoren zu jedem Eigenwert finden.

Zerlegungen

LU-Zerlegung — RechnerEine quadratische Matrix in eine untere und eine obere Dreiecksmatrix zerlegen.
QR-Zerlegung — RechnerIn orthogonales Q und oberes Dreieck R zerlegen – Gram-Schmidt, Householder oder Givens.
Cholesky-Zerlegung — RechnerEine symmetrische positiv definite Matrix als L·Lᵀ zerlegen.
Schur-Zerlegung — RechnerEine quadratische Matrix als Q·T·Q* mit unitärem Q und oberem Dreieck T zerlegen.
Eigendekomposition (Matrixdiagonalisierung) — RechnerEine Matrix aus Eigenwerten und Eigenvektoren als P·D·P⁻¹ diagonalisieren.
Polarzerlegung — RechnerEine Matrix in eine unitäre und eine positiv semidefinite Matrix zerlegen.
Singuläre Wertzerlegung — RechnerDie Singulärwertzerlegung A = U·Σ·Vᵀ berechnen.

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist eine rechteckige Tabelle von Zahlen in Zeilen und Spalten. Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten hat die Größe m×n, und die Zahl in Zeile i und Spalte j heißt aᵢⱼ. Gleich große Matrizen werden elementweise addiert, und zwei Matrizen lassen sich multiplizieren, wenn die erste so viele Spalten hat wie die zweite Zeilen. Vertauscht man Zeilen und Spalten, erhält man die Transponierte.

Eine quadratische Matrix hat eine Zahl, die viel über sie verrät: die Determinante. Ist sie ungleich null, besitzt die Matrix eine Inverse, und der Rang ist gleich der Größe der Matrix. Genau dann hat ein lineares Gleichungssystem mit dieser Koeffizientenmatrix eine eindeutige Lösung.

Matrizen beschreiben auch lineare Abbildungen wie Drehungen, Streckungen und Projektionen. Die Richtungen, die eine Abbildung nur streckt, sind ihre Eigenvektoren, die Streckfaktoren ihre Eigenwerte. Zerlegungen wie die LU-, die QR- und die Singulärwertzerlegung teilen eine Matrix in einfachere Bausteine und machen große Rechnungen schneller und stabiler.

Matrix Operations auf dem Smartphone

Denselben Rechner gibt es als kostenlose App, mit denselben Schritt-für-Schritt-Lösungen und offline nutzbar.

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