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i
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3131313131351515151515≈83137
Wie man die Inverse mittels Montante-Methode findet
Wende die Bareiss-artige ganzzahl-erhaltende Elimination auf die erweiterte Matrix [A|I] an. Jeder Eliminationsschritt teilt exakt durch den vorherigen Pivot, so dass Zwischenwerte ganzzahlig bleiben. Nach vollständiger Reduktion steht die Inverse auf der rechten Seite.
Montante (Bareiss) Inverse — gelöstes Beispiel (4×4)
Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
Um die inverse Matrix der Matrix
A
zu finden, können wir rechts davon die Identitätsmatrix gleicher Größe hinzufügen;
Danach transformieren wir die Matrix mit der Methode
Montante (Bareiss-Algorithmus)
so, dass der linke Teil zu einer Identitätsmatrix wird, dann erhalten wir im rechten Teil die inverse Matrix der Matrix
A
;
Schreiben Sie die erweiterte Matrix (addieren Sie die Identitätsmatrix rechts neben die Matrix
A
):
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
Iteration 1A0
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
In der ersten Iteration ist das vorherige Pivot-Element immer gleich 1:
p0
=
1
;
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A0
) mit den Indizes
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
4
;
Berechne die nächste Matrix (
A1
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A0
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;Schreibe die Ausgangsmatrix
A1
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A1
=
4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
ist das vorherige Pivot-Elementp1
ist das aktuelle Pivot-Elementa0
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa1
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1
=
4
0
0
0
1
19
4
-1
0
4
16
4
1
-1
4
11
1
-1
0
-1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
4
Iteration 2Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A1
) mit den Indizes
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
19
;
Berechne die nächste Matrix (
A2
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A1
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p2;Schreibe die Ausgangsmatrix
A2
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
×××
4
×××
-1
×××
-1
×××
4
×××
0
×××
0
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
ist das vorherige Pivot-Elementp2
ist das aktuelle Pivot-Elementa1
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa2
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4} × {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
-1
4
72
20
5
-1
20
52
5
-1
1
-5
-1
4
-4
1
0
0
19
0
0
0
0
19
5
Iteration 3Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A2
) mit den Indizes
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
72
;
Berechne die nächste Matrix (
A3
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A2
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p3;Schreibe die Ausgangsmatrix
A3
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
×××
20
×××
1
×××
-4
×××
19
×××
0
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
ist das vorherige Pivot-Elementp3
ist das aktuelle Pivot-Elementa2
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa3
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4} × {4, 5, 6, 7, 8}
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
20
-8
20
176
19
-4
1
-20
-4
16
-4
8
1
-4
19
-20
0
0
0
72
6
Iteration 4Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A3
) mit den Indizes
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
176
;
Berechne die nächste Matrix (
A4
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A3
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p4;Schreibe die Ausgangsmatrix
A4
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
×××
-20
×××
8
×××
-20
×××
72
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
ist das vorherige Pivot-Elementp4
ist das aktuelle Pivot-Elementa3
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa4
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3} × {5, 6, 7, 8}
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
52
-12
8
-20
-12
40
-12
8
8
-12
52
-20
-20
8
-20
72
7
Inverse einer MatrixDividiere jedes von Null verschiedene Element der Matrix durch
176
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Answer
B = A⁻¹3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Größe4×4MethodeMontante (Bareiss-Algorithmus)