QR-Zerlegung Rechner

  Über den QR-Zerlegungsrechner für Matrizen

Dies ist ein kostenloser Online-QR-Zerlegungsrechner für Matrizen mit vollständiger, detaillierter, schrittweiser Beschreibung der Lösungen, die Operationen mit Matrizen bis zu einer Größe von 99x99 mit Matrixelementen der folgenden Typen durchführt: Dezimalzahlen, Brüche, komplexe Zahlen, Variablen.

Um die Berechnung zu starten, müssen Sie zunächst die Größe der Matrix in das Eingabefeld eingeben, das Sie ganz oben auf dem Bildschirm finden können. Dort können Sie auch die gewünschte Berechnungsmethode auswählen.

Etwas weiter unten finden Sie ein Matrixfenster, in das Sie die Matrixelemente mit der Tastatur eingeben müssen. Hier befindet sich auch das Matrix-Kontrollfeld, das die Arbeit mit Matrizen vereinfacht und die folgenden Steuerelemente enthält:

• Das erste Element ermöglicht es Ihnen, das Matrixfenster zu vergrößern. Dies kann besonders nützlich sein, wenn Sie Berechnungen mit sehr großen Matrizen durchführen müssen, die nicht vollständig in das Fenster passen. Wenn die Matrix auch nach dem Vergrößern des Fensters nicht vollständig sichtbar ist, können Sie die Skalierung der Matrix mit den Tasten + / - ändern.
• Das zweite Element übernimmt die Funktion, die Matrixeingabe in den Zwischenspeicher zu kopieren. Dies kann nützlich sein, wenn Sie häufig die gleiche Matrix für Berechnungen verwenden oder wenn Sie Matrizen zwischen verschiedenen Operationen verschieben müssen.
• Und das letzte Element fügt die zuvor kopierte Matrix ein, was den Eingabeprozess der Matrix auf wenige Klicks beschleunigt, anstatt sie manuell einzugeben.

Noch weiter unten finden Sie eine Symbolleiste, mit der Sie den Rechner anpassen und die Arbeit mit ihm erleichtern können. Sie ist visuell in drei Teile unterteilt, die jeweils für die folgenden Funktionen verantwortlich sind:

• Der erste Teil ermöglicht Ihnen die Auswahl des Zahlenformats bei der Anzeige des Lösungsergebnisses. Außerdem können Sie hier die Kommentare zur Lösung des Problems ausschalten, wenn Sie bereits verstanden haben, wie das Problem zu lösen ist, und den Rechner nur zur Beschleunigung oder Überprüfung Ihrer eigenen Berechnungen verwenden. Oder Sie können die schrittweise Lösung ganz abschalten, wenn Sie nur das Ergebnis der Lösung benötigen.
• Der zweite Teil enthält Schaltflächen, mit denen Sie den Typ des Matrixeingabefelds ändern, dessen Elemente oder die gesamte Matrix löschen können, und die größte Schaltfläche mit einem Gleichheitszeichen, die Sie zum Bildschirm mit der Lösung des Problems führt. Alle diese Schaltflächen sind durch Tasten auf der Tastatur dupliziert. Um herauszufinden, welche Taste auf der Tastatur Sie drücken müssen, bewegen Sie einfach den Mauszeiger über eine der Schaltflächen und es erscheint ein Hinweis mit dem Namen der Taste. Sie können auch die Pfeiltasten auf Ihrer Tastatur verwenden, um den Cursor zwischen den Matrixeingabefeldern zu bewegen.
• Und der letzte Teil ermöglicht Ihnen die Auswahl der Anzahl der Nachkommastellen für die Rundung von nicht ganzzahligen Zahlen. Außerdem können Sie hier sofort ein Beispiel sehen, wie die gerundeten Brüche aussehen werden.

  Was ist die QR-Zerlegung einer Matrix?

Die QR-Zerlegung ist die Faktorisierung einer gegebenen Matrix in zwei Matrizen, von denen eine eine orthonormale Matrix und die andere eine obere Dreiecksmatrix ist. Das Produkt dieser beiden Matrizen ergibt die ursprüngliche Matrix. Die QR-Zerlegung kann auf Matrizen angewendet werden, bei denen die Anzahl der Spalten die Anzahl der Zeilen nicht überschreitet.

  Wie führt man die QR-Zerlegung einer Matrix mit Gram-Schmidt durch?

Zuerst müssen wir den Gram-Schmidt-Prozess (Orthogonalisierung und Orthonormalisierung) auf die Spalten der gegebenen Matrix anwenden. Die resultierenden Vektoren werden dann die Spalten der orthonormalen Matrix sein. Um dann die obere Dreiecksmatrix zu erhalten, müssen wir die transponierte Matrix der orthonormalen Matrix mit der ursprünglichen Matrix multiplizieren.

  Wie führt man die QR-Zerlegung einer Matrix mit Householder-Reflexionen durch?

Zuerst berechnet man den Householder-Reflexionsvektor für jede Spalte der gegebenen Matrix. Nachdem wir die Householder-Transformation auf alle Spalten einer gegebenen Matrix angewendet haben, ist die resultierende transformierte Matrix eine obere Dreiecksmatrix. Die orthogonale Matrix erhält man durch Multiplikation aller Householder-Matrizen, die bei der Berechnung der oberen Dreiecksmatrix in jedem Schritt erhalten werden.

  Wie führt man die QR-Zerlegung einer Matrix mit Givens-Rotationen durch?

Mit Givens-Rotationen können wir alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale einer gegebenen Matrix auf Null setzen, so dass wir eine obere Dreiecksmatrix erhalten. Während der Berechnung der oberen Dreiecksmatrix werden wir in jeder Iteration die Matrix G berechnen, um die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale auf Null zu setzen. Um eine orthonormale Matrix zu erhalten, müssen alle transponierten Matrizen G multipliziert werden.