QR-Zerlegung Rechner

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c

d

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y

z

clear

i

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  Wie man QR-Zerlegung mit Givens-Rotationen berechnet

Wende eine Folge von 2×2-Ebenen-Rotationen an, um subdiagonale Einträge einen nach dem anderen zu Null zu machen. Jede Givens-Rotation wird durch die zwei Einträge bestimmt, auf die sie wirkt. Das kumulative Produkt der Rotationen ist Q, und die rotierte Matrix ist R.

  Givens-Rotationen — gelöstes Beispiel (4×3)

Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
QR
Zerlegung ist eine Darstellung der Matrix
A
in der Form:
A
=
Q
*
R
;
Matrix
Q
ist eine orthonormale Matrix;
Matrix
R
ist eine obere Dreiecksmatrix;
Wir können Givens-Rotationen verwenden, um alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale der Matrix
A
zu Null zu machen;
Diese Methode ist iterativ und in einer Iteration wird ein Element zu Null gemacht;
In der letzten Iteration, wenn alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale zu Null gemacht wurden, erhalten wir die Matrix
R
;
Während der Berechnung der Matrix
R
berechnen wir in jeder Iteration die Matrix
G
, um die Elemente unterhalb der Hauptdiagonale zu Null zu machen;
Wir können die Matrix
Q
berechnen, indem wir alle transponierten Matrizen
G
miteinander multiplizieren;
Wir werden die Elemente in der Reihenfolge von oben nach unten und von links nach rechts zu Null machen;
In jeder Iteration müssen wir die folgenden Variablen definieren:
a
ist das Element der Matrix Aₖ₋₁, das sich auf der Hauptdiagonale in derselben Spalte befindet wie das Element, das wir zu Null machen wollen
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
;
b
ist das Element der Matrix Aₖ₋₁, das wir zu Null machen wollen
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
;
// wobei
j
ist die Nummer der Zeile, in der sich das Element befindet, das wir zu Null machen wollen
i
ist die Nummer der Spalte, in der sich das Element befindet, das wir zu Null machen wollen
k
ist die Iterationsnummer
Aₖ₋₁
ist die Matrix, die in der vorherigen Iteration berechnet wurde
Als Nächstes müssen wir die folgenden Werte berechnen:
r
=
a
2
0
+
b
2
0
;
c
=
a
r
;
s
= -
b
r
;
Jetzt können wir die Matrix
G
konstruieren:
1)
Die Basis der Matrix G ist eine Einheitsmatrix der Größe n mal n
// wobei
n
ist die Anzahl der Zeilen der Matrix A
2)
Element unter Index [i,i] ist gleich c
g
0
i,i
=
c
;
3)
Element unter Index [j,j] ist gleich c
g
0
j,j
=
c
;
4)
Element unter Index [j,i] ist gleich s
g
0
j,i
=
s
;
5)
Element unter Index [i,j] ist gleich -s
g
0
i,j
=
-s
;
Nachdem wir die Matrix
G
konstruiert haben, können wir sie von links mit der Matrix
A
0
k - 1
multiplizieren, und wir erhalten die Matrix
A
0
k
;
In diesem Schritt werden wir das Element unter Index
j,i
zu Null machen;
Wir werden auch die Matrix
Q
0
k - 1
mit der Matrix
G
T
0
multiplizieren und die Matrix
Q
0
k
erhalten;
2
Iteration 1
Bei der ersten Iteration ist die Matrix
A
0
0
gleich der ursprünglichen Matrix
A
:
A
0
0
=
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
Schreiben Sie die Anfangsmatrix
Q
0
0
, die gleich der Einheitsmatrix ist:
Q
0
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
i
=
1
;
j
=
2
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
0
0
1,1
=
1
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
0
0
2,1
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
2
0
+
1
2
0
=
1
72
173
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
=
=
1
2
0
+
1
2
0
=
=
1
+
1
=
2
=
1
72
173
;
Beschreibung ausblenden
c
=
a
r
=
1
1
72
173
=
79
112
;
s
= -
b
r
= -
1
1
72
173
=
-
79
112
;
G
=
c
s
0
0
-s
c
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
79
112
-
79
112
0
0
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
;
Matrix
A
0
1
A
0
1
=
G
0
·
A
0
0
=
79
112
-
79
112
0
0
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
·
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
=
1
89
214
0
0
1
79
112
79
112
1
1
79
112
-
79
112
1
1
a
0
1
0
1,1
=
g
0
0
1,1
·
a
0
0
0
1,1
+
g
0
0
1,2
·
a
0
0
0
2,1
+
g
0
0
1,3
·
a
0
0
0
3,1
+
g
0
0
1,4
·
a
0
0
0
4,1
=
79
112
*
1
+
79
112
*
1
+
0
*
0
+
0
*
1
=
1
89
214
;
a
0
1
0
1,2
=
g
0
0
1,1
·
a
0
0
0
1,2
+
g
0
0
1,2
·
a
0
0
0
2,2
+
g
0
0
1,3
·
a
0
0
0
3,2
+
g
0
0
1,4
·
a
0
0
0
4,2
=
79
112
*
0
+
79
112
*
1
+
0
*
1
+
0
*
1
=
79
112
;
a
0
1
0
1,3
=
g
0
0
1,1
·
a
0
0
0
1,3
+
g
0
0
1,2
·
a
0
0
0
2,3
+
g
0
0
1,3
·
a
0
0
0
3,3
+
g
0
0
1,4
·
a
0
0
0
4,3
=
79
112
*
1
+
79
112
*
0
+
0
*
1
+
0
*
1
=
79
112
;
a
0
1
0
2,1
=
g
0
0
2,1
·
a
0
0
0
1,1
+
g
0
0
2,2
·
a
0
0
0
2,1
+
g
0
0
2,3
·
a
0
0
0
3,1
+
g
0
0
2,4
·
a
0
0
0
4,1
=
-
79
112
*
1
+
79
112
*
1
+
0
*
0
+
0
*
1
=
0
;
a
0
1
0
2,2
=
g
0
0
2,1
·
a
0
0
0
1,2
+
g
0
0
2,2
·
a
0
0
0
2,2
+
g
0
0
2,3
·
a
0
0
0
3,2
+
g
0
0
2,4
·
a
0
0
0
4,2
=
-
79
112
*
0
+
79
112
*
1
+
0
*
1
+
0
*
1
=
79
112
;
a
0
1
0
2,3
=
g
0
0
2,1
·
a
0
0
0
1,3
+
g
0
0
2,2
·
a
0
0
0
2,3
+
g
0
0
2,3
·
a
0
0
0
3,3
+
g
0
0
2,4
·
a
0
0
0
4,3
=
-
79
112
*
1
+
79
112
*
0
+
0
*
1
+
0
*
1
=
-
79
112
;
a
0
1
0
3,1
=
g
0
0
3,1
·
a
0
0
0
1,1
+
g
0
0
3,2
·
a
0
0
0
2,1
+
g
0
0
3,3
·
a
0
0
0
3,1
+
g
0
0
3,4
·
a
0
0
0
4,1
=
0
*
1
+
0
*
1
+
1
*
0
+
0
*
1
=
0
;
a
0
1
0
3,2
=
g
0
0
3,1
·
a
0
0
0
1,2
+
g
0
0
3,2
·
a
0
0
0
2,2
+
g
0
0
3,3
·
a
0
0
0
3,2
+
g
0
0
3,4
·
a
0
0
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
1
+
0
*
1
=
1
;
a
0
1
0
3,3
=
g
0
0
3,1
·
a
0
0
0
1,3
+
g
0
0
3,2
·
a
0
0
0
2,3
+
g
0
0
3,3
·
a
0
0
0
3,3
+
g
0
0
3,4
·
a
0
0
0
4,3
=
0
*
1
+
0
*
0
+
1
*
1
+
0
*
1
=
1
;
a
0
1
0
4,1
=
g
0
0
4,1
·
a
0
0
0
1,1
+
g
0
0
4,2
·
a
0
0
0
2,1
+
g
0
0
4,3
·
a
0
0
0
3,1
+
g
0
0
4,4
·
a
0
0
0
4,1
=
0
*
1
+
0
*
1
+
0
*
0
+
1
*
1
=
1
;
a
0
1
0
4,2
=
g
0
0
4,1
·
a
0
0
0
1,2
+
g
0
0
4,2
·
a
0
0
0
2,2
+
g
0
0
4,3
·
a
0
0
0
3,2
+
g
0
0
4,4
·
a
0
0
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
1
+
0
*
1
+
1
*
1
=
1
;
a
0
1
0
4,3
=
g
0
0
4,1
·
a
0
0
0
1,3
+
g
0
0
4,2
·
a
0
0
0
2,3
+
g
0
0
4,3
·
a
0
0
0
3,3
+
g
0
0
4,4
·
a
0
0
0
4,3
=
0
*
1
+
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
1
=
1
;
Beschreibung ausblenden
12 Elemente
Matrix
G
T
0
G
T
0
=
79
112
79
112
0
0
-
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
g
T
0
0
1,1
=
g
0
1,1
=
79
112
;
g
T
0
0
1,2
=
g
0
2,1
=
-
79
112
;
g
T
0
0
1,3
=
g
0
3,1
=
0
;
g
T
0
0
1,4
=
g
0
4,1
=
0
;
g
T
0
0
2,1
=
g
0
1,2
=
79
112
;
g
T
0
0
2,2
=
g
0
2,2
=
79
112
;
g
T
0
0
2,3
=
g
0
3,2
=
0
;
g
T
0
0
2,4
=
g
0
4,2
=
0
;
g
T
0
0
3,1
=
g
0
1,3
=
0
;
g
T
0
0
3,2
=
g
0
2,3
=
0
;
g
T
0
0
3,3
=
g
0
3,3
=
1
;
g
T
0
0
3,4
=
g
0
4,3
=
0
;
g
T
0
0
4,1
=
g
0
1,4
=
0
;
g
T
0
0
4,2
=
g
0
2,4
=
0
;
g
T
0
0
4,3
=
g
0
3,4
=
0
;
g
T
0
0
4,4
=
g
0
4,4
=
1
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
Matrix
Q
0
1
Q
0
1
=
Q
0
0
·
G
T
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
·
79
112
79
112
0
0
-
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
79
112
79
112
0
0
-
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
q
0
1
0
1,1
=
q
0
0
0
1,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
0
0
1,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
0
0
1,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
0
0
1,4
·
g
T
0
0
4,1
=
1
*
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
0
+
0
*
0
=
79
112
;
q
0
1
0
1,2
=
q
0
0
0
1,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
0
0
1,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
0
0
1,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
0
0
1,4
·
g
T
0
0
4,2
=
1
*
-
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
0
+
0
*
0
=
-
79
112
;
q
0
1
0
1,3
=
q
0
0
0
1,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
0
0
1,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
0
0
1,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
0
0
1,4
·
g
T
0
0
4,3
=
1
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
+
0
*
0
=
0
;
q
0
1
0
1,4
=
q
0
0
0
1,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
0
0
1,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
0
0
1,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
0
0
1,4
·
g
T
0
0
4,4
=
1
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
=
0
;
q
0
1
0
2,1
=
q
0
0
0
2,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
0
0
2,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
0
0
2,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
0
0
2,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
79
112
+
1
*
79
112
+
0
*
0
+
0
*
0
=
79
112
;
q
0
1
0
2,2
=
q
0
0
0
2,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
0
0
2,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
0
0
2,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
0
0
2,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
-
79
112
+
1
*
79
112
+
0
*
0
+
0
*
0
=
79
112
;
q
0
1
0
2,3
=
q
0
0
0
2,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
0
0
2,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
0
0
2,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
0
0
2,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
1
+
0
*
0
=
0
;
q
0
1
0
2,4
=
q
0
0
0
2,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
0
0
2,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
0
0
2,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
0
0
2,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
=
0
;
q
0
1
0
3,1
=
q
0
0
0
3,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
0
0
3,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
0
0
3,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
0
0
3,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
79
112
+
0
*
79
112
+
1
*
0
+
0
*
0
=
0
;
q
0
1
0
3,2
=
q
0
0
0
3,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
0
0
3,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
0
0
3,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
0
0
3,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
-
79
112
+
0
*
79
112
+
1
*
0
+
0
*
0
=
0
;
q
0
1
0
3,3
=
q
0
0
0
3,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
0
0
3,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
0
0
3,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
0
0
3,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
1
+
0
*
0
=
1
;
q
0
1
0
3,4
=
q
0
0
0
3,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
0
0
3,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
0
0
3,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
0
0
3,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
1
=
0
;
q
0
1
0
4,1
=
q
0
0
0
4,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
0
0
4,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
0
0
4,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
0
0
4,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
0
+
1
*
0
=
0
;
q
0
1
0
4,2
=
q
0
0
0
4,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
0
0
4,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
0
0
4,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
0
0
4,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
-
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
0
+
1
*
0
=
0
;
q
0
1
0
4,3
=
q
0
0
0
4,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
0
0
4,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
0
0
4,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
0
0
4,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
0
=
0
;
q
0
1
0
4,4
=
q
0
0
0
4,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
0
0
4,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
0
0
4,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
0
0
4,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
1
=
1
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
3
Iteration 2
i
=
1
;
j
=
4
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
1
0
1,1
=
1
89
214
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
1
0
4,1
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
89
214
2
0
+
1
2
0
=
1
19
26
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
=
=
1
89
214
2
0
+
1
2
0
=
=
2
+
1
=
3
=
1
19
26
;
Beschreibung ausblenden
c
=
a
r
=
1
89
214
1
19
26
=
83
101
;
s
= -
b
r
= -
1
1
19
26
=
-
11
19
;
G
=
c
0
0
s
0
1
0
0
0
0
1
0
-s
0
0
c
=
83
101
0
0
-
11
19
0
1
0
0
0
0
1
0
11
19
0
0
83
101
;
Matrix
A
0
2
A
0
2
=
G
0
·
A
0
1
=
83
101
0
0
-
11
19
0
1
0
0
0
0
1
0
11
19
0
0
83
101
·
1
89
214
0
0
1
79
112
79
112
1
1
79
112
-
79
112
1
1
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
79
112
1
83
203
1
39
250
-
79
112
1
83
203
a
0
2
0
1,1
=
g
0
0
1,1
·
a
0
1
0
1,1
+
g
0
0
1,2
·
a
0
1
0
2,1
+
g
0
0
1,3
·
a
0
1
0
3,1
+
g
0
0
1,4
·
a
0
1
0
4,1
=
83
101
*
1
89
214
+
0
*
0
+
0
*
0
+
11
19
*
1
=
1
14
19
;
a
0
2
0
1,2
=
g
0
0
1,1
·
a
0
1
0
1,2
+
g
0
0
1,2
·
a
0
1
0
2,2
+
g
0
0
1,3
·
a
0
1
0
3,2
+
g
0
0
1,4
·
a
0
1
0
4,2
=
83
101
*
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
1
+
11
19
*
1
=
1
39
250
;
a
0
2
0
1,3
=
g
0
0
1,1
·
a
0
1
0
1,3
+
g
0
0
1,2
·
a
0
1
0
2,3
+
g
0
0
1,3
·
a
0
1
0
3,3
+
g
0
0
1,4
·
a
0
1
0
4,3
=
83
101
*
79
112
+
0
*
-
79
112
+
0
*
1
+
11
19
*
1
=
1
39
250
;
a
0
2
0
2,1
=
g
0
0
2,1
·
a
0
1
0
1,1
+
g
0
0
2,2
·
a
0
1
0
2,1
+
g
0
0
2,3
·
a
0
1
0
3,1
+
g
0
0
2,4
·
a
0
1
0
4,1
=
0
*
1
89
214
+
1
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
=
0
;
a
0
2
0
2,2
=
g
0
0
2,1
·
a
0
1
0
1,2
+
g
0
0
2,2
·
a
0
1
0
2,2
+
g
0
0
2,3
·
a
0
1
0
3,2
+
g
0
0
2,4
·
a
0
1
0
4,2
=
0
*
79
112
+
1
*
79
112
+
0
*
1
+
0
*
1
=
79
112
;
a
0
2
0
2,3
=
g
0
0
2,1
·
a
0
1
0
1,3
+
g
0
0
2,2
·
a
0
1
0
2,3
+
g
0
0
2,3
·
a
0
1
0
3,3
+
g
0
0
2,4
·
a
0
1
0
4,3
=
0
*
79
112
+
1
*
-
79
112
+
0
*
1
+
0
*
1
=
-
79
112
;
a
0
2
0
3,1
=
g
0
0
3,1
·
a
0
1
0
1,1
+
g
0
0
3,2
·
a
0
1
0
2,1
+
g
0
0
3,3
·
a
0
1
0
3,1
+
g
0
0
3,4
·
a
0
1
0
4,1
=
0
*
1
89
214
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
1
=
0
;
a
0
2
0
3,2
=
g
0
0
3,1
·
a
0
1
0
1,2
+
g
0
0
3,2
·
a
0
1
0
2,2
+
g
0
0
3,3
·
a
0
1
0
3,2
+
g
0
0
3,4
·
a
0
1
0
4,2
=
0
*
79
112
+
0
*
79
112
+
1
*
1
+
0
*
1
=
1
;
a
0
2
0
3,3
=
g
0
0
3,1
·
a
0
1
0
1,3
+
g
0
0
3,2
·
a
0
1
0
2,3
+
g
0
0
3,3
·
a
0
1
0
3,3
+
g
0
0
3,4
·
a
0
1
0
4,3
=
0
*
79
112
+
0
*
-
79
112
+
1
*
1
+
0
*
1
=
1
;
a
0
2
0
4,1
=
g
0
0
4,1
·
a
0
1
0
1,1
+
g
0
0
4,2
·
a
0
1
0
2,1
+
g
0
0
4,3
·
a
0
1
0
3,1
+
g
0
0
4,4
·
a
0
1
0
4,1
=
-
11
19
*
1
89
214
+
0
*
0
+
0
*
0
+
83
101
*
1
=
0
;
a
0
2
0
4,2
=
g
0
0
4,1
·
a
0
1
0
1,2
+
g
0
0
4,2
·
a
0
1
0
2,2
+
g
0
0
4,3
·
a
0
1
0
3,2
+
g
0
0
4,4
·
a
0
1
0
4,2
=
-
11
19
*
79
112
+
0
*
79
112
+
0
*
1
+
83
101
*
1
=
83
203
;
a
0
2
0
4,3
=
g
0
0
4,1
·
a
0
1
0
1,3
+
g
0
0
4,2
·
a
0
1
0
2,3
+
g
0
0
4,3
·
a
0
1
0
3,3
+
g
0
0
4,4
·
a
0
1
0
4,3
=
-
11
19
*
79
112
+
0
*
-
79
112
+
0
*
1
+
83
101
*
1
=
83
203
;
Beschreibung ausblenden
12 Elemente
Matrix
G
T
0
G
T
0
=
83
101
0
0
11
19
0
1
0
0
0
0
1
0
-
11
19
0
0
83
101
g
T
0
0
1,1
=
g
0
1,1
=
83
101
;
g
T
0
0
1,2
=
g
0
2,1
=
0
;
g
T
0
0
1,3
=
g
0
3,1
=
0
;
g
T
0
0
1,4
=
g
0
4,1
=
-
11
19
;
g
T
0
0
2,1
=
g
0
1,2
=
0
;
g
T
0
0
2,2
=
g
0
2,2
=
1
;
g
T
0
0
2,3
=
g
0
3,2
=
0
;
g
T
0
0
2,4
=
g
0
4,2
=
0
;
g
T
0
0
3,1
=
g
0
1,3
=
0
;
g
T
0
0
3,2
=
g
0
2,3
=
0
;
g
T
0
0
3,3
=
g
0
3,3
=
1
;
g
T
0
0
3,4
=
g
0
4,3
=
0
;
g
T
0
0
4,1
=
g
0
1,4
=
11
19
;
g
T
0
0
4,2
=
g
0
2,4
=
0
;
g
T
0
0
4,3
=
g
0
3,4
=
0
;
g
T
0
0
4,4
=
g
0
4,4
=
83
101
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
Matrix
Q
0
2
Q
0
2
=
Q
0
1
·
G
T
0
=
79
112
79
112
0
0
-
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
·
83
101
0
0
11
19
0
1
0
0
0
0
1
0
-
11
19
0
0
83
101
=
86
149
86
149
0
11
19
-
79
112
79
112
0
0
0
0
1
0
-
69
169
-
69
169
0
83
101
q
0
2
0
1,1
=
q
0
1
0
1,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
1
0
1,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
1
0
1,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
1
0
1,4
·
g
T
0
0
4,1
=
79
112
*
83
101
+
-
79
112
*
0
+
0
*
0
+
0
*
11
19
=
86
149
;
q
0
2
0
1,2
=
q
0
1
0
1,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
1
0
1,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
1
0
1,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
1
0
1,4
·
g
T
0
0
4,2
=
79
112
*
0
+
-
79
112
*
1
+
0
*
0
+
0
*
0
=
-
79
112
;
q
0
2
0
1,3
=
q
0
1
0
1,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
1
0
1,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
1
0
1,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
1
0
1,4
·
g
T
0
0
4,3
=
79
112
*
0
+
-
79
112
*
0
+
0
*
1
+
0
*
0
=
0
;
q
0
2
0
1,4
=
q
0
1
0
1,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
1
0
1,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
1
0
1,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
1
0
1,4
·
g
T
0
0
4,4
=
79
112
*
-
11
19
+
-
79
112
*
0
+
0
*
0
+
0
*
83
101
=
-
69
169
;
q
0
2
0
2,1
=
q
0
1
0
2,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
1
0
2,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
1
0
2,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
1
0
2,4
·
g
T
0
0
4,1
=
79
112
*
83
101
+
79
112
*
0
+
0
*
0
+
0
*
11
19
=
86
149
;
q
0
2
0
2,2
=
q
0
1
0
2,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
1
0
2,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
1
0
2,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
1
0
2,4
·
g
T
0
0
4,2
=
79
112
*
0
+
79
112
*
1
+
0
*
0
+
0
*
0
=
79
112
;
q
0
2
0
2,3
=
q
0
1
0
2,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
1
0
2,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
1
0
2,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
1
0
2,4
·
g
T
0
0
4,3
=
79
112
*
0
+
79
112
*
0
+
0
*
1
+
0
*
0
=
0
;
q
0
2
0
2,4
=
q
0
1
0
2,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
1
0
2,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
1
0
2,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
1
0
2,4
·
g
T
0
0
4,4
=
79
112
*
-
11
19
+
79
112
*
0
+
0
*
0
+
0
*
83
101
=
-
69
169
;
q
0
2
0
3,1
=
q
0
1
0
3,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
1
0
3,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
1
0
3,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
1
0
3,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
83
101
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
11
19
=
0
;
q
0
2
0
3,2
=
q
0
1
0
3,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
1
0
3,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
1
0
3,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
1
0
3,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
0
+
0
*
0
=
0
;
q
0
2
0
3,3
=
q
0
1
0
3,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
1
0
3,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
1
0
3,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
1
0
3,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
1
+
0
*
0
=
1
;
q
0
2
0
3,4
=
q
0
1
0
3,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
1
0
3,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
1
0
3,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
1
0
3,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
-
11
19
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
83
101
=
0
;
q
0
2
0
4,1
=
q
0
1
0
4,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
1
0
4,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
1
0
4,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
1
0
4,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
83
101
+
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
11
19
=
11
19
;
q
0
2
0
4,2
=
q
0
1
0
4,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
1
0
4,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
1
0
4,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
1
0
4,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
1
+
0
*
0
+
1
*
0
=
0
;
q
0
2
0
4,3
=
q
0
1
0
4,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
1
0
4,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
1
0
4,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
1
0
4,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
0
=
0
;
q
0
2
0
4,4
=
q
0
1
0
4,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
1
0
4,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
1
0
4,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
1
0
4,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
-
11
19
+
0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
83
101
=
83
101
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
4
Iteration 3
i
=
2
;
j
=
3
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
2
0
2,2
=
79
112
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
2
0
3,2
=
1
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
79
112
2
0
+
1
2
0
=
1
16
71
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
=
=
79
112
2
0
+
1
2
0
=
=
1
2
+
1
=
1
1
2
=
1
16
71
;
Beschreibung ausblenden
c
=
a
r
=
79
112
1
16
71
=
29
50
;
s
= -
b
r
= -
1
1
16
71
=
-
49
60
;
G
=
1
0
0
0
0
c
s
0
0
-s
c
0
0
0
0
1
=
1
0
0
0
0
29
50
-
49
60
0
0
49
60
29
50
0
0
0
0
1
;
Matrix
A
0
3
A
0
3
=
G
0
·
A
0
2
=
1
0
0
0
0
29
50
-
49
60
0
0
49
60
29
50
0
0
0
0
1
·
1
14
19
0
0
0
1
39
250
79
112
1
83
203
1
39
250
-
79
112
1
83
203
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
13
58
0
83
203
1
39
250
26
63
1
75
482
83
203
a
0
3
0
1,1
=
g
0
0
1,1
·
a
0
2
0
1,1
+
g
0
0
1,2
·
a
0
2
0
2,1
+
g
0
0
1,3
·
a
0
2
0
3,1
+
g
0
0
1,4
·
a
0
2
0
4,1
=
1
*
1
14
19
+
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
=
1
14
19
;
a
0
3
0
1,2
=
g
0
0
1,1
·
a
0
2
0
1,2
+
g
0
0
1,2
·
a
0
2
0
2,2
+
g
0
0
1,3
·
a
0
2
0
3,2
+
g
0
0
1,4
·
a
0
2
0
4,2
=
1
*
1
39
250
+
0
*
79
112
+
0
*
1
+
0
*
83
203
=
1
39
250
;
a
0
3
0
1,3
=
g
0
0
1,1
·
a
0
2
0
1,3
+
g
0
0
1,2
·
a
0
2
0
2,3
+
g
0
0
1,3
·
a
0
2
0
3,3
+
g
0
0
1,4
·
a
0
2
0
4,3
=
1
*
1
39
250
+
0
*
-
79
112
+
0
*
1
+
0
*
83
203
=
1
39
250
;
a
0
3
0
2,1
=
g
0
0
2,1
·
a
0
2
0
1,1
+
g
0
0
2,2
·
a
0
2
0
2,1
+
g
0
0
2,3
·
a
0
2
0
3,1
+
g
0
0
2,4
·
a
0
2
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
29
50
*
0
+
49
60
*
0
+
0
*
0
=
0
;
a
0
3
0
2,2
=
g
0
0
2,1
·
a
0
2
0
1,2
+
g
0
0
2,2
·
a
0
2
0
2,2
+
g
0
0
2,3
·
a
0
2
0
3,2
+
g
0
0
2,4
·
a
0
2
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
29
50
*
79
112
+
49
60
*
1
+
0
*
83
203
=
1
13
58
;
a
0
3
0
2,3
=
g
0
0
2,1
·
a
0
2
0
1,3
+
g
0
0
2,2
·
a
0
2
0
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+
g
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0
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g
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a
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=
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*
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50
*
-
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*
1
+
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*
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203
=
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63
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a
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=
g
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·
a
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·
a
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0
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+
g
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0
3,3
·
a
0
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0
3,1
+
g
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0
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·
a
0
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0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
-
49
60
*
0
+
29
50
*
0
+
0
*
0
=
0
;
a
0
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0
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=
g
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3,1
·
a
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g
0
0
3,2
·
a
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+
g
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0
3,3
·
a
0
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0
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+
g
0
0
3,4
·
a
0
2
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
-
49
60
*
79
112
+
29
50
*
1
+
0
*
83
203
=
0
;
a
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=
g
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a
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g
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3,2
·
a
0
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0
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g
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0
3,3
·
a
0
2
0
3,3
+
g
0
0
3,4
·
a
0
2
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
-
49
60
*
-
79
112
+
29
50
*
1
+
0
*
83
203
=
1
75
482
;
a
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=
g
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0
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·
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0
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·
a
0
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0
4,1
=
0
*
1
14
19
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0
*
0
+
0
*
0
+
1
*
0
=
0
;
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=
g
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4,1
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a
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0
1,2
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g
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0
4,2
·
a
0
2
0
2,2
+
g
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4,3
·
a
0
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0
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+
g
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0
4,4
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a
0
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0
4,2
=
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*
1
39
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+
0
*
79
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+
0
*
1
+
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*
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203
=
83
203
;
a
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g
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·
a
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4,2
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g
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4,3
·
a
0
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3,3
+
g
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0
4,4
·
a
0
2
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
0
*
-
79
112
+
0
*
1
+
1
*
83
203
=
83
203
;
Beschreibung ausblenden
12 Elemente
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G
T
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G
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0
0
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50
49
60
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-
49
60
29
50
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=
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g
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g
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;
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g
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-
49
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g
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;
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g
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0
;
g
T
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3,2
=
g
0
2,3
=
49
60
;
g
T
0
0
3,3
=
g
0
3,3
=
29
50
;
g
T
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=
g
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4,3
=
0
;
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g
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1,4
=
0
;
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T
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g
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2,4
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0
;
g
T
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g
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=
0
;
g
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=
g
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=
1
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
Matrix
Q
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3
Q
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3
=
Q
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2
·
G
T
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=
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149
86
149
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19
-
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112
79
112
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0
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-
69
169
-
69
169
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·
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0
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50
49
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0
-
49
60
29
50
0
0
0
0
1
=
86
149
86
149
0
11
19
-
23
56
23
56
49
60
0
29
50
-
29
50
29
50
0
-
69
169
-
69
169
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83
101
q
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=
q
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·
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q
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g
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g
T
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q
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2
0
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·
g
T
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4,1
=
86
149
*
1
+
-
79
112
*
0
+
0
*
0
+
-
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169
*
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=
86
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;
q
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0
1,2
=
q
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2
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·
g
T
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q
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0
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·
g
T
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q
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·
g
T
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+
q
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2
0
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·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
-
79
112
*
29
50
+
0
*
49
60
+
-
69
169
*
0
=
-
23
56
;
q
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3
0
1,3
=
q
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2
0
1,1
·
g
T
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0
1,3
+
q
0
2
0
1,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
2
0
1,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
2
0
1,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
-
79
112
*
-
49
60
+
0
*
29
50
+
-
69
169
*
0
=
29
50
;
q
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3
0
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=
q
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2
0
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·
g
T
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0
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q
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2
0
1,2
·
g
T
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+
q
0
2
0
1,3
·
g
T
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3,4
+
q
0
2
0
1,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
-
79
112
*
0
+
0
*
0
+
-
69
169
*
1
=
-
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169
;
q
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3
0
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=
q
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0
2,1
·
g
T
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0
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+
q
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2
0
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·
g
T
0
0
2,1
+
q
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0
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·
g
T
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3,1
+
q
0
2
0
2,4
·
g
T
0
0
4,1
=
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149
*
1
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79
112
*
0
+
0
*
0
+
-
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169
*
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=
86
149
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q
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0
2,2
=
q
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2
0
2,1
·
g
T
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0
1,2
+
q
0
2
0
2,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
2
0
2,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
2
0
2,4
·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
79
112
*
29
50
+
0
*
49
60
+
-
69
169
*
0
=
23
56
;
q
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3
0
2,3
=
q
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2
0
2,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
2
0
2,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
2
0
2,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
2
0
2,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
79
112
*
-
49
60
+
0
*
29
50
+
-
69
169
*
0
=
-
29
50
;
q
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3
0
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=
q
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0
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·
g
T
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q
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0
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·
g
T
0
0
2,4
+
q
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2
0
2,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
2
0
2,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
79
112
*
0
+
0
*
0
+
-
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169
*
1
=
-
69
169
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q
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=
q
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2
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g
T
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·
g
T
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2
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·
g
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q
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g
T
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4,1
=
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*
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*
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1
*
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+
0
*
0
=
0
;
q
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3
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=
q
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2
0
3,1
·
g
T
0
0
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+
q
0
2
0
3,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
2
0
3,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
2
0
3,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
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50
+
1
*
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+
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*
0
=
49
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;
q
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=
q
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2
0
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·
g
T
0
0
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+
q
0
2
0
3,2
·
g
T
0
0
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+
q
0
2
0
3,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
2
0
3,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
-
49
60
+
1
*
29
50
+
0
*
0
=
29
50
;
q
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0
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=
q
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0
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g
T
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+
q
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·
g
T
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+
q
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2
0
3,3
·
g
T
0
0
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+
q
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2
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·
g
T
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=
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*
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+
0
*
0
+
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*
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+
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*
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=
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q
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0
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=
q
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0
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g
T
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q
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·
g
T
0
0
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+
q
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·
g
T
0
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+
q
0
2
0
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·
g
T
0
0
4,1
=
11
19
*
1
+
0
*
0
+
0
*
0
+
83
101
*
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=
11
19
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q
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3
0
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=
q
0
2
0
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·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
2
0
4,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
2
0
4,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
2
0
4,4
·
g
T
0
0
4,2
=
11
19
*
0
+
0
*
29
50
+
0
*
49
60
+
83
101
*
0
=
0
;
q
0
3
0
4,3
=
q
0
2
0
4,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
2
0
4,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
2
0
4,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
2
0
4,4
·
g
T
0
0
4,3
=
11
19
*
0
+
0
*
-
49
60
+
0
*
29
50
+
83
101
*
0
=
0
;
q
0
3
0
4,4
=
q
0
2
0
4,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
2
0
4,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
2
0
4,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
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2
0
4,4
·
g
T
0
0
4,4
=
11
19
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
+
83
101
*
1
=
83
101
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
5
Iteration 4
i
=
2
;
j
=
4
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
3
0
2,2
=
1
13
58
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
3
0
4,2
=
83
203
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
13
58
2
0
+
83
203
2
0
=
1
62
213
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
=
=
1
13
58
2
0
+
83
203
2
0
=
=
1
1
2
+
1
6
=
1
2
3
=
1
62
213
;
Beschreibung ausblenden
c
=
a
r
=
1
13
58
1
62
213
=
41
43
;
s
= -
b
r
= -
83
203
1
62
213
=
-
86
271
;
G
=
1
0
0
0
0
c
0
s
0
0
1
0
0
-s
0
c
=
1
0
0
0
0
41
43
0
-
86
271
0
0
1
0
0
86
271
0
41
43
;
Matrix
A
0
4
A
0
4
=
G
0
·
A
0
3
=
1
0
0
0
0
41
43
0
-
86
271
0
0
1
0
0
86
271
0
41
43
·
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
13
58
0
83
203
1
39
250
26
63
1
75
482
83
203
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
86
295
0
0
1
39
250
97
187
1
75
482
97
374
a
0
4
0
1,1
=
g
0
0
1,1
·
a
0
3
0
1,1
+
g
0
0
1,2
·
a
0
3
0
2,1
+
g
0
0
1,3
·
a
0
3
0
3,1
+
g
0
0
1,4
·
a
0
3
0
4,1
=
1
*
1
14
19
+
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
=
1
14
19
;
a
0
4
0
1,2
=
g
0
0
1,1
·
a
0
3
0
1,2
+
g
0
0
1,2
·
a
0
3
0
2,2
+
g
0
0
1,3
·
a
0
3
0
3,2
+
g
0
0
1,4
·
a
0
3
0
4,2
=
1
*
1
39
250
+
0
*
1
13
58
+
0
*
0
+
0
*
83
203
=
1
39
250
;
a
0
4
0
1,3
=
g
0
0
1,1
·
a
0
3
0
1,3
+
g
0
0
1,2
·
a
0
3
0
2,3
+
g
0
0
1,3
·
a
0
3
0
3,3
+
g
0
0
1,4
·
a
0
3
0
4,3
=
1
*
1
39
250
+
0
*
26
63
+
0
*
1
75
482
+
0
*
83
203
=
1
39
250
;
a
0
4
0
2,1
=
g
0
0
2,1
·
a
0
3
0
1,1
+
g
0
0
2,2
·
a
0
3
0
2,1
+
g
0
0
2,3
·
a
0
3
0
3,1
+
g
0
0
2,4
·
a
0
3
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
41
43
*
0
+
0
*
0
+
86
271
*
0
=
0
;
a
0
4
0
2,2
=
g
0
0
2,1
·
a
0
3
0
1,2
+
g
0
0
2,2
·
a
0
3
0
2,2
+
g
0
0
2,3
·
a
0
3
0
3,2
+
g
0
0
2,4
·
a
0
3
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
41
43
*
1
13
58
+
0
*
0
+
86
271
*
83
203
=
1
86
295
;
a
0
4
0
2,3
=
g
0
0
2,1
·
a
0
3
0
1,3
+
g
0
0
2,2
·
a
0
3
0
2,3
+
g
0
0
2,3
·
a
0
3
0
3,3
+
g
0
0
2,4
·
a
0
3
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
41
43
*
26
63
+
0
*
1
75
482
+
86
271
*
83
203
=
97
187
;
a
0
4
0
3,1
=
g
0
0
3,1
·
a
0
3
0
1,1
+
g
0
0
3,2
·
a
0
3
0
2,1
+
g
0
0
3,3
·
a
0
3
0
3,1
+
g
0
0
3,4
·
a
0
3
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
0
=
0
;
a
0
4
0
3,2
=
g
0
0
3,1
·
a
0
3
0
1,2
+
g
0
0
3,2
·
a
0
3
0
2,2
+
g
0
0
3,3
·
a
0
3
0
3,2
+
g
0
0
3,4
·
a
0
3
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
0
*
1
13
58
+
1
*
0
+
0
*
83
203
=
0
;
a
0
4
0
3,3
=
g
0
0
3,1
·
a
0
3
0
1,3
+
g
0
0
3,2
·
a
0
3
0
2,3
+
g
0
0
3,3
·
a
0
3
0
3,3
+
g
0
0
3,4
·
a
0
3
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
0
*
26
63
+
1
*
1
75
482
+
0
*
83
203
=
1
75
482
;
a
0
4
0
4,1
=
g
0
0
4,1
·
a
0
3
0
1,1
+
g
0
0
4,2
·
a
0
3
0
2,1
+
g
0
0
4,3
·
a
0
3
0
3,1
+
g
0
0
4,4
·
a
0
3
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
-
86
271
*
0
+
0
*
0
+
41
43
*
0
=
0
;
a
0
4
0
4,2
=
g
0
0
4,1
·
a
0
3
0
1,2
+
g
0
0
4,2
·
a
0
3
0
2,2
+
g
0
0
4,3
·
a
0
3
0
3,2
+
g
0
0
4,4
·
a
0
3
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
-
86
271
*
1
13
58
+
0
*
0
+
41
43
*
83
203
=
0
;
a
0
4
0
4,3
=
g
0
0
4,1
·
a
0
3
0
1,3
+
g
0
0
4,2
·
a
0
3
0
2,3
+
g
0
0
4,3
·
a
0
3
0
3,3
+
g
0
0
4,4
·
a
0
3
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
-
86
271
*
26
63
+
0
*
1
75
482
+
41
43
*
83
203
=
97
374
;
Beschreibung ausblenden
12 Elemente
Matrix
G
T
0
G
T
0
=
1
0
0
0
0
41
43
0
86
271
0
0
1
0
0
-
86
271
0
41
43
g
T
0
0
1,1
=
g
0
1,1
=
1
;
g
T
0
0
1,2
=
g
0
2,1
=
0
;
g
T
0
0
1,3
=
g
0
3,1
=
0
;
g
T
0
0
1,4
=
g
0
4,1
=
0
;
g
T
0
0
2,1
=
g
0
1,2
=
0
;
g
T
0
0
2,2
=
g
0
2,2
=
41
43
;
g
T
0
0
2,3
=
g
0
3,2
=
0
;
g
T
0
0
2,4
=
g
0
4,2
=
-
86
271
;
g
T
0
0
3,1
=
g
0
1,3
=
0
;
g
T
0
0
3,2
=
g
0
2,3
=
0
;
g
T
0
0
3,3
=
g
0
3,3
=
1
;
g
T
0
0
3,4
=
g
0
4,3
=
0
;
g
T
0
0
4,1
=
g
0
1,4
=
0
;
g
T
0
0
4,2
=
g
0
2,4
=
86
271
;
g
T
0
0
4,3
=
g
0
3,4
=
0
;
g
T
0
0
4,4
=
g
0
4,4
=
41
43
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
Matrix
Q
0
4
Q
0
4
=
Q
0
3
·
G
T
0
=
86
149
86
149
0
11
19
-
23
56
23
56
49
60
0
29
50
-
29
50
29
50
0
-
69
169
-
69
169
0
83
101
·
1
0
0
0
0
41
43
0
86
271
0
0
1
0
0
-
86
271
0
41
43
=
86
149
86
149
0
11
19
-
15
29
11
42
56
73
54
209
29
50
-
29
50
29
50
0
-
61
233
-
41
79
-
13
50
86
111
q
0
4
0
1,1
=
q
0
3
0
1,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
3
0
1,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
3
0
1,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
3
0
1,4
·
g
T
0
0
4,1
=
86
149
*
1
+
-
23
56
*
0
+
29
50
*
0
+
-
69
169
*
0
=
86
149
;
q
0
4
0
1,2
=
q
0
3
0
1,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
3
0
1,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
3
0
1,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
3
0
1,4
·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
-
23
56
*
41
43
+
29
50
*
0
+
-
69
169
*
86
271
=
-
15
29
;
q
0
4
0
1,3
=
q
0
3
0
1,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
3
0
1,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
3
0
1,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
3
0
1,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
-
23
56
*
0
+
29
50
*
1
+
-
69
169
*
0
=
29
50
;
q
0
4
0
1,4
=
q
0
3
0
1,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
3
0
1,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
3
0
1,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
3
0
1,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
-
23
56
*
-
86
271
+
29
50
*
0
+
-
69
169
*
41
43
=
-
61
233
;
q
0
4
0
2,1
=
q
0
3
0
2,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
3
0
2,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
3
0
2,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
3
0
2,4
·
g
T
0
0
4,1
=
86
149
*
1
+
23
56
*
0
+
-
29
50
*
0
+
-
69
169
*
0
=
86
149
;
q
0
4
0
2,2
=
q
0
3
0
2,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
3
0
2,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
3
0
2,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
3
0
2,4
·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
23
56
*
41
43
+
-
29
50
*
0
+
-
69
169
*
86
271
=
11
42
;
q
0
4
0
2,3
=
q
0
3
0
2,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
3
0
2,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
3
0
2,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
3
0
2,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
23
56
*
0
+
-
29
50
*
1
+
-
69
169
*
0
=
-
29
50
;
q
0
4
0
2,4
=
q
0
3
0
2,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
3
0
2,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
3
0
2,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
3
0
2,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
23
56
*
-
86
271
+
-
29
50
*
0
+
-
69
169
*
41
43
=
-
41
79
;
q
0
4
0
3,1
=
q
0
3
0
3,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
3
0
3,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
3
0
3,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
3
0
3,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
1
+
49
60
*
0
+
29
50
*
0
+
0
*
0
=
0
;
q
0
4
0
3,2
=
q
0
3
0
3,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
3
0
3,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
3
0
3,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
3
0
3,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
0
+
49
60
*
41
43
+
29
50
*
0
+
0
*
86
271
=
56
73
;
q
0
4
0
3,3
=
q
0
3
0
3,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
3
0
3,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
3
0
3,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
3
0
3,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
49
60
*
0
+
29
50
*
1
+
0
*
0
=
29
50
;
q
0
4
0
3,4
=
q
0
3
0
3,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
3
0
3,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
3
0
3,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
3
0
3,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
0
+
49
60
*
-
86
271
+
29
50
*
0
+
0
*
41
43
=
-
13
50
;
q
0
4
0
4,1
=
q
0
3
0
4,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
3
0
4,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
3
0
4,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
3
0
4,4
·
g
T
0
0
4,1
=
11
19
*
1
+
0
*
0
+
0
*
0
+
83
101
*
0
=
11
19
;
q
0
4
0
4,2
=
q
0
3
0
4,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
3
0
4,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
3
0
4,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
3
0
4,4
·
g
T
0
0
4,2
=
11
19
*
0
+
0
*
41
43
+
0
*
0
+
83
101
*
86
271
=
54
209
;
q
0
4
0
4,3
=
q
0
3
0
4,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
3
0
4,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
3
0
4,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
3
0
4,4
·
g
T
0
0
4,3
=
11
19
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
+
83
101
*
0
=
0
;
q
0
4
0
4,4
=
q
0
3
0
4,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
3
0
4,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
3
0
4,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
3
0
4,4
·
g
T
0
0
4,4
=
11
19
*
0
+
0
*
-
86
271
+
0
*
0
+
83
101
*
41
43
=
86
111
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
6
Iteration 5
i
=
3
;
j
=
4
;
a
=
a
0
k - 1
0
i,i
=
a
0
4
0
3,3
=
1
75
482
;
b
=
a
0
k - 1
0
j,i
=
a
0
4
0
4,3
=
97
374
;
r
=
a
2
0
+
b
2
0
=
1
75
482
2
0
+
97
374
2
0
=
1
89
486
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
=
=
1
75
482
2
0
+
97
374
2
0
=
=
1
1
3
+
20
299
=
1
2
5
=
1
89
486
;
Beschreibung ausblenden
c
=
a
r
=
1
75
482
1
89
486
=
59
61
;
s
= -
b
r
= -
97
374
1
89
486
=
-
55
252
;
G
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
c
s
0
0
-s
c
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
59
61
-
55
252
0
0
55
252
59
61
;
Matrix
A
0
5
A
0
5
=
G
0
·
A
0
4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
59
61
-
55
252
0
0
55
252
59
61
·
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
86
295
0
0
1
39
250
97
187
1
75
482
97
374
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
86
295
0
0
1
39
250
97
187
1
8
43
0
a
0
5
0
1,1
=
g
0
0
1,1
·
a
0
4
0
1,1
+
g
0
0
1,2
·
a
0
4
0
2,1
+
g
0
0
1,3
·
a
0
4
0
3,1
+
g
0
0
1,4
·
a
0
4
0
4,1
=
1
*
1
14
19
+
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
=
1
14
19
;
a
0
5
0
1,2
=
g
0
0
1,1
·
a
0
4
0
1,2
+
g
0
0
1,2
·
a
0
4
0
2,2
+
g
0
0
1,3
·
a
0
4
0
3,2
+
g
0
0
1,4
·
a
0
4
0
4,2
=
1
*
1
39
250
+
0
*
1
86
295
+
0
*
0
+
0
*
0
=
1
39
250
;
a
0
5
0
1,3
=
g
0
0
1,1
·
a
0
4
0
1,3
+
g
0
0
1,2
·
a
0
4
0
2,3
+
g
0
0
1,3
·
a
0
4
0
3,3
+
g
0
0
1,4
·
a
0
4
0
4,3
=
1
*
1
39
250
+
0
*
97
187
+
0
*
1
75
482
+
0
*
97
374
=
1
39
250
;
a
0
5
0
2,1
=
g
0
0
2,1
·
a
0
4
0
1,1
+
g
0
0
2,2
·
a
0
4
0
2,1
+
g
0
0
2,3
·
a
0
4
0
3,1
+
g
0
0
2,4
·
a
0
4
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
1
*
0
+
0
*
0
+
0
*
0
=
0
;
a
0
5
0
2,2
=
g
0
0
2,1
·
a
0
4
0
1,2
+
g
0
0
2,2
·
a
0
4
0
2,2
+
g
0
0
2,3
·
a
0
4
0
3,2
+
g
0
0
2,4
·
a
0
4
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
1
*
1
86
295
+
0
*
0
+
0
*
0
=
1
86
295
;
a
0
5
0
2,3
=
g
0
0
2,1
·
a
0
4
0
1,3
+
g
0
0
2,2
·
a
0
4
0
2,3
+
g
0
0
2,3
·
a
0
4
0
3,3
+
g
0
0
2,4
·
a
0
4
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
1
*
97
187
+
0
*
1
75
482
+
0
*
97
374
=
97
187
;
a
0
5
0
3,1
=
g
0
0
3,1
·
a
0
4
0
1,1
+
g
0
0
3,2
·
a
0
4
0
2,1
+
g
0
0
3,3
·
a
0
4
0
3,1
+
g
0
0
3,4
·
a
0
4
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
0
*
0
+
59
61
*
0
+
55
252
*
0
=
0
;
a
0
5
0
3,2
=
g
0
0
3,1
·
a
0
4
0
1,2
+
g
0
0
3,2
·
a
0
4
0
2,2
+
g
0
0
3,3
·
a
0
4
0
3,2
+
g
0
0
3,4
·
a
0
4
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
0
*
1
86
295
+
59
61
*
0
+
55
252
*
0
=
0
;
a
0
5
0
3,3
=
g
0
0
3,1
·
a
0
4
0
1,3
+
g
0
0
3,2
·
a
0
4
0
2,3
+
g
0
0
3,3
·
a
0
4
0
3,3
+
g
0
0
3,4
·
a
0
4
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
0
*
97
187
+
59
61
*
1
75
482
+
55
252
*
97
374
=
1
8
43
;
a
0
5
0
4,1
=
g
0
0
4,1
·
a
0
4
0
1,1
+
g
0
0
4,2
·
a
0
4
0
2,1
+
g
0
0
4,3
·
a
0
4
0
3,1
+
g
0
0
4,4
·
a
0
4
0
4,1
=
0
*
1
14
19
+
0
*
0
+
-
55
252
*
0
+
59
61
*
0
=
0
;
a
0
5
0
4,2
=
g
0
0
4,1
·
a
0
4
0
1,2
+
g
0
0
4,2
·
a
0
4
0
2,2
+
g
0
0
4,3
·
a
0
4
0
3,2
+
g
0
0
4,4
·
a
0
4
0
4,2
=
0
*
1
39
250
+
0
*
1
86
295
+
-
55
252
*
0
+
59
61
*
0
=
0
;
a
0
5
0
4,3
=
g
0
0
4,1
·
a
0
4
0
1,3
+
g
0
0
4,2
·
a
0
4
0
2,3
+
g
0
0
4,3
·
a
0
4
0
3,3
+
g
0
0
4,4
·
a
0
4
0
4,3
=
0
*
1
39
250
+
0
*
97
187
+
-
55
252
*
1
75
482
+
59
61
*
97
374
=
0
;
Beschreibung ausblenden
12 Elemente
Matrix
G
T
0
G
T
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
59
61
55
252
0
0
-
55
252
59
61
g
T
0
0
1,1
=
g
0
1,1
=
1
;
g
T
0
0
1,2
=
g
0
2,1
=
0
;
g
T
0
0
1,3
=
g
0
3,1
=
0
;
g
T
0
0
1,4
=
g
0
4,1
=
0
;
g
T
0
0
2,1
=
g
0
1,2
=
0
;
g
T
0
0
2,2
=
g
0
2,2
=
1
;
g
T
0
0
2,3
=
g
0
3,2
=
0
;
g
T
0
0
2,4
=
g
0
4,2
=
0
;
g
T
0
0
3,1
=
g
0
1,3
=
0
;
g
T
0
0
3,2
=
g
0
2,3
=
0
;
g
T
0
0
3,3
=
g
0
3,3
=
59
61
;
g
T
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0
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=
g
0
4,3
=
-
55
252
;
g
T
0
0
4,1
=
g
0
1,4
=
0
;
g
T
0
0
4,2
=
g
0
2,4
=
0
;
g
T
0
0
4,3
=
g
0
3,4
=
55
252
;
g
T
0
0
4,4
=
g
0
4,4
=
59
61
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
Matrix
Q
0
5
Q
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5
=
Q
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4
·
G
T
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=
86
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86
149
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19
-
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11
42
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73
54
209
29
50
-
29
50
29
50
0
-
61
233
-
41
79
-
13
50
86
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·
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
59
61
55
252
0
0
-
55
252
59
61
=
86
149
86
149
0
11
19
-
15
29
11
42
56
73
54
209
65
128
-
21
31
29
57
7
41
-
97
256
-
97
256
-
91
240
76
101
q
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5
0
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=
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4
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·
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·
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T
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+
q
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4
0
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·
g
T
0
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+
q
0
4
0
1,4
·
g
T
0
0
4,1
=
86
149
*
1
+
-
15
29
*
0
+
29
50
*
0
+
-
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*
0
=
86
149
;
q
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0
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=
q
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4
0
1,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
4
0
1,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
4
0
1,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
4
0
1,4
·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
-
15
29
*
1
+
29
50
*
0
+
-
61
233
*
0
=
-
15
29
;
q
0
5
0
1,3
=
q
0
4
0
1,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
4
0
1,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
4
0
1,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
4
0
1,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
-
15
29
*
0
+
29
50
*
59
61
+
-
61
233
*
55
252
=
65
128
;
q
0
5
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=
q
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4
0
1,1
·
g
T
0
0
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+
q
0
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0
1,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
4
0
1,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
4
0
1,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
-
15
29
*
0
+
29
50
*
-
55
252
+
-
61
233
*
59
61
=
-
97
256
;
q
0
5
0
2,1
=
q
0
4
0
2,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
4
0
2,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
4
0
2,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
4
0
2,4
·
g
T
0
0
4,1
=
86
149
*
1
+
11
42
*
0
+
-
29
50
*
0
+
-
41
79
*
0
=
86
149
;
q
0
5
0
2,2
=
q
0
4
0
2,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
4
0
2,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
4
0
2,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
4
0
2,4
·
g
T
0
0
4,2
=
86
149
*
0
+
11
42
*
1
+
-
29
50
*
0
+
-
41
79
*
0
=
11
42
;
q
0
5
0
2,3
=
q
0
4
0
2,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
4
0
2,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
4
0
2,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
4
0
2,4
·
g
T
0
0
4,3
=
86
149
*
0
+
11
42
*
0
+
-
29
50
*
59
61
+
-
41
79
*
55
252
=
-
21
31
;
q
0
5
0
2,4
=
q
0
4
0
2,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
4
0
2,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
4
0
2,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
4
0
2,4
·
g
T
0
0
4,4
=
86
149
*
0
+
11
42
*
0
+
-
29
50
*
-
55
252
+
-
41
79
*
59
61
=
-
97
256
;
q
0
5
0
3,1
=
q
0
4
0
3,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
4
0
3,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
4
0
3,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
4
0
3,4
·
g
T
0
0
4,1
=
0
*
1
+
56
73
*
0
+
29
50
*
0
+
-
13
50
*
0
=
0
;
q
0
5
0
3,2
=
q
0
4
0
3,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
4
0
3,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
4
0
3,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
4
0
3,4
·
g
T
0
0
4,2
=
0
*
0
+
56
73
*
1
+
29
50
*
0
+
-
13
50
*
0
=
56
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;
q
0
5
0
3,3
=
q
0
4
0
3,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
4
0
3,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
4
0
3,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
4
0
3,4
·
g
T
0
0
4,3
=
0
*
0
+
56
73
*
0
+
29
50
*
59
61
+
-
13
50
*
55
252
=
29
57
;
q
0
5
0
3,4
=
q
0
4
0
3,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
4
0
3,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
4
0
3,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
4
0
3,4
·
g
T
0
0
4,4
=
0
*
0
+
56
73
*
0
+
29
50
*
-
55
252
+
-
13
50
*
59
61
=
-
91
240
;
q
0
5
0
4,1
=
q
0
4
0
4,1
·
g
T
0
0
1,1
+
q
0
4
0
4,2
·
g
T
0
0
2,1
+
q
0
4
0
4,3
·
g
T
0
0
3,1
+
q
0
4
0
4,4
·
g
T
0
0
4,1
=
11
19
*
1
+
54
209
*
0
+
0
*
0
+
86
111
*
0
=
11
19
;
q
0
5
0
4,2
=
q
0
4
0
4,1
·
g
T
0
0
1,2
+
q
0
4
0
4,2
·
g
T
0
0
2,2
+
q
0
4
0
4,3
·
g
T
0
0
3,2
+
q
0
4
0
4,4
·
g
T
0
0
4,2
=
11
19
*
0
+
54
209
*
1
+
0
*
0
+
86
111
*
0
=
54
209
;
q
0
5
0
4,3
=
q
0
4
0
4,1
·
g
T
0
0
1,3
+
q
0
4
0
4,2
·
g
T
0
0
2,3
+
q
0
4
0
4,3
·
g
T
0
0
3,3
+
q
0
4
0
4,4
·
g
T
0
0
4,3
=
11
19
*
0
+
54
209
*
0
+
0
*
59
61
+
86
111
*
55
252
=
7
41
;
q
0
5
0
4,4
=
q
0
4
0
4,1
·
g
T
0
0
1,4
+
q
0
4
0
4,2
·
g
T
0
0
2,4
+
q
0
4
0
4,3
·
g
T
0
0
3,4
+
q
0
4
0
4,4
·
g
T
0
0
4,4
=
11
19
*
0
+
54
209
*
0
+
0
*
-
55
252
+
86
111
*
59
61
=
76
101
;
Beschreibung ausblenden
16 Elemente
7
Matrix Q, R
Q
=
Q
0
5
=
86
149
86
149
0
11
19
-
15
29
11
42
56
73
54
209
65
128
-
21
31
29
57
7
41
-
97
256
-
97
256
-
91
240
76
101
R
=
A
0
5
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
86
295
0
0
1
39
250
97
187
1
8
43
0
Answer
A = Q · R
Q
=
86
149
86
149
0
11
19
-
15
29
11
42
56
73
54
209
65
128
-
21
31
29
57
7
41
-
97
256
-
97
256
-
91
240
76
101
R
=
1
14
19
0
0
0
1
39
250
1
86
295
0
0
1
39
250
97
187
1
8
43
0
Größe4×3MethodeGivens-Rotation

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