Determinante einer Matrix Rechner

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i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Lösen

  Wie man die Determinante mit Montante (Bareiss-Algorithmus) findet

Die Montante-Methode (auch als Bareiss-Algorithmus bekannt) ist eine ganzzahl-erhaltende Variante der Gauß-Elimination. Bei jedem Schritt teilt der Pivot der vorherigen Iteration die neuen Einträge exakt, so dass jedes Zwischenergebnis ganzzahlig bleibt. Die Determinante ist der endgültige Pivot.

  Montante (Bareiss) gelöstes Beispiel (5×5)

Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Reduzieren Sie die Matrix
A
mit dem Montante-Verfahren (Bareiss-Algorithmus) auf die Echelon-Form, dann ist das letzte Element auf der Hauptdiagonale gleich der Determinante der Matrix
A
;
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
3)
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
// wobei
a
a ist ein Element der Matrix A;
p
p ist das aktuelle Pivot-Element;
2
Iteration 1
A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
In der ersten Iteration ist das vorherige Pivot-Element immer gleich 1:
p0
=
1
;
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A0
) mit den Indizes
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Berechne die nächste Matrix (
A1
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A0
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A1
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A1
=
3
0
0
0
0
1
××××
2
××××
0
××××
1
××××
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
// wobei
p0
ist das vorherige Pivot-Element
p1
ist das aktuelle Pivot-Element
a0
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration
a1
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration
i
ist die Zeilennummer
j
ist die Spaltennummer
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
3
Iteration 2
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A1
) mit den Indizes
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Berechne die nächste Matrix (
A2
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A1
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p2;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A2
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
×
-2
×××
×
6
×××
×
2
×××
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
// wobei
p1
ist das vorherige Pivot-Element
p2
ist das aktuelle Pivot-Element
a1
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration
a2
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration
i
ist die Zeilennummer
j
ist die Spaltennummer
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
4
Iteration 3
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A2
) mit den Indizes
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Berechne die nächste Matrix (
A3
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A2
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p3;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A3
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
××
9
××
××
-8
××
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
// wobei
p2
ist das vorherige Pivot-Element
p3
ist das aktuelle Pivot-Element
a2
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration
a3
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration
i
ist die Zeilennummer
j
ist die Spaltennummer
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
5
Iteration 4
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A3
) mit den Indizes
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Berechne die nächste Matrix (
A4
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A3
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p4;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A4
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
×××
78
×
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
// wobei
p3
ist das vorherige Pivot-Element
p4
ist das aktuelle Pivot-Element
a3
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration
a4
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration
i
ist die Zeilennummer
j
ist die Spaltennummer
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
6
Iteration 5
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A4
) mit den Indizes
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Berechne die nächste Matrix (
A5
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A4
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p5;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A5
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Wie wir sehen können, gibt es keine unbekannten Elemente, was bedeutet, dass die Berechnung der Matrix
A5
bereits abgeschlossen ist;
7
Determinante einer Matrix
det(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)
det(
A
) =
192
;
Größe5×5MethodeMontante (Bareiss-Algorithmus)

  Berechnungsmethoden

  Quellen

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