Zerlegung nach:
0
0
0
0
Zahlenformat
Lösungskommentare
Ohne Beschreibung (nur Antwort)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Wie man die Determinante mit Montante (Bareiss-Algorithmus) findet
Die Montante-Methode (auch als Bareiss-Algorithmus bekannt) ist eine ganzzahl-erhaltende Variante der Gauß-Elimination. Bei jedem Schritt teilt der Pivot der vorherigen Iteration die neuen Einträge exakt, so dass jedes Zwischenergebnis ganzzahlig bleibt. Die Determinante ist der endgültige Pivot.
Montante (Bareiss) gelöstes Beispiel (5×5)
Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Reduzieren Sie die Matrix
A
mit dem Montante-Verfahren (Bareiss-Algorithmus) auf die Echelon-Form, dann ist das letzte Element auf der Hauptdiagonale gleich der Determinante der Matrix
A
;
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a ist ein Element der Matrix A;p
p ist das aktuelle Pivot-Element;2
Iteration 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
In der ersten Iteration ist das vorherige Pivot-Element immer gleich 1:
p0
=
1
;
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A0
) mit den Indizes
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Berechne die nächste Matrix (
A1
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A0
);
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A1
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A1
=
3
0
0
0
0
1
x
x
x
x
2
x
x
x
x
0
x
x
x
x
1
x
x
x
x
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
;
Wobei:
p0
ist das vorherige Pivot-Element;
p1
ist das aktuelle Pivot-Element;
a0
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration;
a1
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration;
i
ist die Zeilennummer;
j
ist die Spaltennummer;
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
a1
0
2,2
=
a0
0
2,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
2,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
a1
0
2,3
=
a0
0
2,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
2,1
p0
=
0
*
3
-
2
*
1
1
=
-2
;
a1
0
2,4
=
a0
0
2,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
2,1
p0
=
2
*
3
-
0
*
1
1
=
6
;
a1
0
2,5
=
a0
0
2,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
2,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
1
1
=
2
;
a1
0
3,2
=
a0
0
3,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
2
1
=
1
;
a1
0
3,3
=
a0
0
3,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
3,1
p0
=
5
*
3
-
2
*
2
1
=
11
;
a1
0
3,4
=
a0
0
3,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
2
1
=
3
;
a1
0
3,5
=
a0
0
3,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
3,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
2
1
=
-2
;
a1
0
4,2
=
a0
0
4,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
4,3
=
a0
0
4,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
4,1
p0
=
1
*
3
-
2
*
0
1
=
3
;
a1
0
4,4
=
a0
0
4,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
4,1
p0
=
3
*
3
-
0
*
0
1
=
9
;
a1
0
4,5
=
a0
0
4,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
5,2
=
a0
0
5,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
5,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
1
1
=
-1
;
a1
0
5,3
=
a0
0
5,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
5,1
p0
=
2
*
3
-
2
*
1
1
=
4
;
a1
0
5,4
=
a0
0
5,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
5,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
1
1
=
3
;
a1
0
5,5
=
a0
0
5,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
5,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
Beschreibung ausblenden
3
Iteration 2Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A1
) mit den Indizes
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Berechne die nächste Matrix (
A2
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A1
);
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch
p2
;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A2
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
x
-2
x
x
x
x
6
x
x
x
x
2
x
x
x
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
;
Wobei:
p1
ist das vorherige Pivot-Element;
p2
ist das aktuelle Pivot-Element;
a1
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration;
a2
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration;
i
ist die Zeilennummer;
j
ist die Spaltennummer;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
a2
0
1,3
=
a1
0
1,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
1,2
p1
=
2
*
11
-
-2
*
1
3
=
8
;
a2
0
1,4
=
a1
0
1,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
1,2
p1
=
0
*
11
-
6
*
1
3
=
-2
;
a2
0
1,5
=
a1
0
1,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
1,2
p1
=
1
*
11
-
2
*
1
3
=
3
;
a2
0
3,3
=
a1
0
3,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
3,2
p1
=
11
*
11
-
-2
*
1
3
=
41
;
a2
0
3,4
=
a1
0
3,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
3,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
1
3
=
9
;
a2
0
3,5
=
a1
0
3,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
3,2
p1
=
-2
*
11
-
2
*
1
3
=
-8
;
a2
0
4,3
=
a1
0
4,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
4,2
p1
=
3
*
11
-
-2
*
6
3
=
15
;
a2
0
4,4
=
a1
0
4,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
4,2
p1
=
9
*
11
-
6
*
6
3
=
21
;
a2
0
4,5
=
a1
0
4,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
4,2
p1
=
6
*
11
-
2
*
6
3
=
18
;
a2
0
5,3
=
a1
0
5,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
5,2
p1
=
4
*
11
-
-2
*
-1
3
=
14
;
a2
0
5,4
=
a1
0
5,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
5,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
-1
3
=
13
;
a2
0
5,5
=
a1
0
5,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
5,2
p1
=
11
*
11
-
2
*
-1
3
=
41
;
Beschreibung ausblenden
4
Iteration 3Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A2
) mit den Indizes
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Berechne die nächste Matrix (
A3
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A2
);
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch
p3
;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A3
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
x
x
9
x
x
x
x
-8
x
x
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
;
Wobei:
p2
ist das vorherige Pivot-Element;
p3
ist das aktuelle Pivot-Element;
a2
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration;
a3
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration;
i
ist die Zeilennummer;
j
ist die Spaltennummer;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
a3
0
1,4
=
a2
0
1,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
1,3
p2
=
-2
*
41
-
9
*
8
11
=
-14
;
a3
0
1,5
=
a2
0
1,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
1,3
p2
=
3
*
41
-
-8
*
8
11
=
17
;
a3
0
2,4
=
a2
0
2,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
2,3
p2
=
6
*
41
-
9
*
-2
11
=
24
;
a3
0
2,5
=
a2
0
2,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
2,3
p2
=
2
*
41
-
-8
*
-2
11
=
6
;
a3
0
4,4
=
a2
0
4,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
4,3
p2
=
21
*
41
-
9
*
15
11
=
66
;
a3
0
4,5
=
a2
0
4,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
4,3
p2
=
18
*
41
-
-8
*
15
11
=
78
;
a3
0
5,4
=
a2
0
5,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
5,3
p2
=
13
*
41
-
9
*
14
11
=
37
;
a3
0
5,5
=
a2
0
5,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
5,3
p2
=
41
*
41
-
-8
*
14
11
=
163
;
Beschreibung ausblenden
5
Iteration 4Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A3
) mit den Indizes
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Berechne die nächste Matrix (
A4
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A3
);
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch
p4
;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A4
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
x
x
x
78
x
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
;
Wobei:
p3
ist das vorherige Pivot-Element;
p4
ist das aktuelle Pivot-Element;
a3
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iteration;
a4
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iteration;
i
ist die Zeilennummer;
j
ist die Spaltennummer;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
a4
0
1,5
=
a3
0
1,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
1,4
p3
=
17
*
66
-
78
*
-14
41
=
54
;
a4
0
2,5
=
a3
0
2,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
2,4
p3
=
6
*
66
-
78
*
24
41
=
-36
;
a4
0
3,5
=
a3
0
3,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
3,4
p3
=
-8
*
66
-
78
*
9
41
=
-30
;
a4
0
5,5
=
a3
0
5,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
5,4
p3
=
163
*
66
-
78
*
37
41
=
192
;
Beschreibung ausblenden
6
Iteration 5Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A4
) mit den Indizes
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Berechne die nächste Matrix (
A5
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A4
);
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch
p5
;
Schreibe die Ausgangsmatrix
A5
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Wie wir sehen können, gibt es keine unbekannten Elemente, was bedeutet, dass die Berechnung der Matrix
A5
bereits abgeschlossen ist;
7
Determinante einer Matrixdet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
Größe5×5MethodeMontante (Bareiss-Algorithmus)