x1
+x1
+x1
+x1
+x2
+x2
+x2
+x2
+x3
+x3
+x3
+x3
+x4
=x4
=x4
=x4
=Zahlenformat
Lösungskommentare
Ohne Beschreibung (nur Antwort)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Wie man ein System mit der Montante (Bareiss)-Methode löst
Wende Bareiss-artige ganzzahl-erhaltende Elimination auf die erweiterte Matrix an. Jede Pivot-Operation teilt exakt durch den vorherigen Pivot, so dass Zwischenwerte während des gesamten Prozesses ganzzahlig bleiben. Lese die Lösung aus der endgültigen reduzierten Form.
Montante (Bareiss) gelöstes Beispiel (5 Gleichungen)
Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform:
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
Um die Lösungen eines linearen Gleichungssystems mit der
Montante (Bareiss-Algorithmus)
-Methode zu finden, können wir die Matrixform des Systems so transformieren, dass der linke Teil der Matrix zu einer Einheitsmatrix wird, dann erhalten wir auf dem rechten Teil die Lösungen des Systems;
2
Iteration 1A0
=
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
In der ersten Iteration ist das vorherige Pivot-Element immer gleich 1:
p0
=
1
;
Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A0
) mit den Indizes
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
5
;
Berechne die nächste Matrix (
A1
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A0
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;Schreibe die Ausgangsmatrix
A1
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A1
=
5
0
0
0
0
1
0
1
0
7
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
ist das vorherige Pivot-Elementp1
ist das aktuelle Pivot-Elementa0
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa1
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5, 6}
A1
=
5
0
0
0
0
1
24
5
-1
5
0
5
20
5
0
1
-1
5
24
5
0
5
0
5
20
7
33
30
33
30
3
Iteration 2Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A1
) mit den Indizes
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
24
;
Berechne die nächste Matrix (
A2
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A1
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p2;Schreibe die Ausgangsmatrix
A2
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
××××
5
××××
-1
××××
5
××××
33
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
ist das vorherige Pivot-Elementp2
ist das aktuelle Pivot-Elementa1
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa2
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5, 6}
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
-1
5
91
25
-5
5
-1
25
115
25
-1
5
-5
25
91
27
33
111
165
111
4
Iteration 3Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A2
) mit den Indizes
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
91
;
Berechne die nächste Matrix (
A3
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A2
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p3;Schreibe die Ausgangsmatrix
A3
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
××××
25
××××
-5
××××
111
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
ist das vorherige Pivot-Elementp3
ist das aktuelle Pivot-Elementa2
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa3
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5, 6}
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
20
-9
25
410
100
-4
20
-5
100
344
107
102
111
510
444
5
Iteration 4Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A3
) mit den Indizes
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
410
;
Berechne die nächste Matrix (
A4
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A3
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p4;Schreibe die Ausgangsmatrix
A4
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
××××
100
××××
510
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
ist das vorherige Pivot-Elementp4
ist das aktuelle Pivot-Elementa3
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa4
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5, 6}
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
-40
100
-50
100
1440
370
510
360
510
1440
6
Iteration 5Das aktuelle Pivot-Element ist gleich dem Element der vorherigen Matrix (
A4
) mit den Indizes
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
1440
;
Berechne die nächste Matrix (
A5
) basierend auf der vorherigen Matrix (
A4
);
1)
Die Zeile, in der sich ein Pivot-Element befindet, wird ohne Änderungen in die nächste Matrix übertragen;2)
Schreibe in alle Elemente der Spalte, in der sich das Pivot-Element befindet, eine Null, außer in das Pivot-Element selbst;3)
Ersetze alle vorherigen Pivot-Elemente durch p5;Schreibe die Ausgangsmatrix
A5
und markiere die Elemente, die wir finden müssen, als unbekannt:
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
××××
1440
Um unbekannte Elemente zu finden, verwende die folgende Formel:
a5
0
i,j
=
a4
0
i,j
*
p5
-
a4
0
5,j
*
a4
0
i,5
p4
p4
ist das vorherige Pivot-Elementp5
ist das aktuelle Pivot-Elementa4
ist das Element der vorherigen Matrix, berechnet in der vorherigen Iterationa5
ist das Element der nächsten Matrix, berechnet in der aktuellen Iterationi
ist die Zeilennummerj
ist die SpaltennummerⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 4} × {6}
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
1440
1440
1440
1440
1440
7
Lineares GleichungssystemDividiere jedes von Null verschiedene Element der Matrix durch
1440
;
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Answer
Ax = bx
0
1
=
1
;
x
0
2
=
1
;
x
0
3
=
1
;
x
0
4
=
1
;
x
0
5
=
1
;
Größe5×6MethodeMontante (Bareiss-Algorithmus)