x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
Zahlenformat
Lösungskommentare
Ohne Beschreibung (nur Antwort)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Wie man ein System mit Gauß-Jordan-Elimination löst
Erweitere die Koeffizientenmatrix um den Konstantenvektor. Wende elementare Zeilenoperationen an, um die reduzierte Zeilenstufenform zu erreichen (1en auf der Diagonale, 0en über und unter jedem Pivot). Die Konstantenspalte enthält dann direkt die Lösung.
Gauß-Jordan gelöstes Beispiel (4 Gleichungen)
Schreibe das Gleichungssystem in Matrixform:
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
Um die Lösungen eines linearen Gleichungssystems mit der
Gauß-Jordan
-Methode zu finden, können wir die Matrixform des Systems so transformieren, dass der linke Teil der Matrix zu einer Einheitsmatrix wird, dann erhalten wir auf dem rechten Teil die Lösungen des Systems;
2
Iteration 1Nullen in Spalte
1
erhalten;
Das Element mit den Indizes
1,1
wird zum Pivot;
Die Zeile mit dem Pivotelement bleibt unverändert;
Alle anderen Elemente der Matrix werden mit der Rechteckmethode relativ zum Pivotelement gefunden:
Setzen Sie die Spalte mit dem Pivotelement auf Null:
1
0
0
0
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
5
a
0
2,2
=
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
2
*
1
- (
3
*
2
) =
-4
;
a
0
2,3
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
4
*
1
- (
3
*
1
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
3
*
-1
) =
7
;
a
0
2,5
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
16
*
1
- (
3
*
5
) =
1
;
a
0
3,2
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
4
*
1
- (
4
*
2
) =
-4
;
a
0
3,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
3
*
1
- (
4
*
1
) =
-1
;
a
0
3,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
4
*
-1
) =
8
;
a
0
3,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
22
15
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
22
*
1
- (
4
*
5
) =
2
;
a
0
4,2
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
2
*
2
) =
-4
;
a
0
4,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,3
) =
1
*
1
- (
2
*
1
) =
-1
;
a
0
4,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,4
) =
5
*
1
- (
2
*
-1
) =
7
;
a
0
4,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
15
=
a
0
4,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,5
) =
15
*
1
- (
2
*
5
) =
5
;
Beschreibung ausblenden
3
Iteration 2Teile die
2
te Zeile durch
-4
;
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
a
0
2,2
=
-4
-4
=
1
;
a
0
2,3
=
1
-4
=
-
1
4
;
a
0
2,4
=
7
-4
=
-1
3
4
;
a
0
2,5
=
1
-4
=
-
1
4
;
Beschreibung ausblenden
Nullen in Spalte
2
erhalten;
Das Element mit den Indizes
2,2
wird zum Pivot;
Die Zeile mit dem Pivotelement bleibt unverändert;
Alle anderen Elemente der Matrix werden mit der Rechteckmethode relativ zum Pivotelement gefunden:
Setzen Sie die Spalte mit dem Pivotelement auf Null:
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
4
a
0
1,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
1
1
2
;
a
0
1,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
-1
*
1
- (
2
*
-1
3
4
) =
2
1
2
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
5
1
2
;
a
0
3,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
3,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
8
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
1
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
2
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
1
;
a
0
4,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,4
) =
7
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
0
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
4
;
Beschreibung ausblenden
4
Iteration 3Teile die
3
te Zeile durch
-2
;
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
a
0
3,3
=
-2
-2
=
1
;
a
0
3,4
=
1
-2
=
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
-2
=
-
1
2
;
Beschreibung ausblenden
Nullen in Spalte
3
erhalten;
Das Element mit den Indizes
3,3
wird zum Pivot;
Die Zeile mit dem Pivotelement bleibt unverändert;
Alle anderen Elemente der Matrix werden mit der Rechteckmethode relativ zum Pivotelement gefunden:
Setzen Sie die Spalte mit dem Pivotelement auf Null:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
3
a
0
1,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
2
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
3
1
4
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
5
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
6
1
4
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-1
3
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-1
7
8
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-
3
8
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,4
) =
0
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
-1
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,5
) =
4
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
3
;
Beschreibung ausblenden
5
Iteration 4Teile die
4
te Zeile durch
-1
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
a
0
4,4
=
-1
-1
=
1
;
a
0
4,5
=
3
-1
=
-3
;
Beschreibung ausblenden
Nullen in Spalte
4
erhalten;
Das Element mit den Indizes
4,4
wird zum Pivot;
Die Zeile mit dem Pivotelement bleibt unverändert;
Alle anderen Elemente der Matrix werden mit der Rechteckmethode relativ zum Pivotelement gefunden:
Setzen Sie die Spalte mit dem Pivotelement auf Null:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
16
-6
-2
-3
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
1,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
1,4
*
a
0
4,5
) =
6
1
4
*
1
- (
3
1
4
*
-3
) =
16
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
2,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
2,4
*
a
0
4,5
) =
-
3
8
*
1
- (
-1
7
8
*
-3
) =
-6
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-6
-
1
2
-3
=
a
0
3,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
3,4
*
a
0
4,5
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-3
) =
-2
;
Beschreibung ausblenden
Answer
Ax = bx
0
1
=
16
;
x
0
2
=
-6
;
x
0
3
=
-2
;
x
0
4
=
-3
;
Größe4×5MethodeGauß-Jordan