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Randomize
3131313131351515151515≈83137
Wie man den Rang mit Randminoren findet
Starten Sie mit einem einzelnen von Null verschiedenen Eintrag (ein 1×1-Minor). Rahme ihn mit benachbarten Zeilen/Spalten zu einem 2×2-Minor ein; wenn irgendein 2×2-Minor von Null verschieden ist, fahre fort, 3×3 zu rahmen; und so weiter. Der Rang ist die Größe des größten von Null verschiedenen umrahmten Minors.
Randminoren — gelöstes Beispiel (4×4)
Schreibe die Ausgangsmatrix
A
:
A
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
2
SCHRITT [0]Betrachten wir die Matrix
, es gibt Nicht-Null-Werte unter ihren Elementen;
Zum Beispiel gibt es ein Nicht-Null-Element am Schnittpunkt von Zeile
1
und Spalte
1
;
Bezeichnen wir dieses Element als Minor erster Ordnung (
M
0
1
);
M
0
1
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
;
Da die Matrix
einen Minor erster Ordnung besitzt, gilt rank(
) ≥ 1;
3
SCHRITT [0]Versuchen wir, einen beliebigen Nicht-Null-Minor der Ordnung
2
(
M
0
2
) zu finden, der an den Minor der Ordnung
1
(
M
0
1
) angrenzt;
Suche einen Minor der Ordnung
2
, der an den Minor der Ordnung
1
am Schnittpunkt von Zeile
2
und Spalte
1, 2
angrenzt;
M
0
2
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
1
=
1
;
Es existiert also ein Nicht-Null-Minor der Ordnung
2
, daher gilt rank(
) ≥
2
;
Wir bezeichnen diesen Minor als
M
0
2
;
4
SCHRITT [0]Versuchen wir, einen beliebigen Nicht-Null-Minor der Ordnung
3
(
M
0
3
) zu finden, der an den Minor der Ordnung
2
(
M
0
2
) angrenzt;
Suche einen Minor der Ordnung
3
, der an den Minor der Ordnung
2
am Schnittpunkt von Zeile
3
und Spalte
1, 2, 3
angrenzt;
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
2
1
4
3
2
6
=
0
Dieser Minor ist gleich Null;
Also setzen wir die Suche fort, falls möglich!
Suche einen Minor der Ordnung
3
, der an den Minor der Ordnung
2
am Schnittpunkt von Zeile
3
und Spalte
1, 2, 4
angrenzt;
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
2
1
4
4
1
8
=
0
Dieser Minor ist gleich Null;
Also setzen wir die Suche fort, falls möglich!
Suche einen Minor der Ordnung
3
, der an den Minor der Ordnung
2
am Schnittpunkt von Zeile
4
und Spalte
1, 2, 3
angrenzt;
M
0
3
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
1
2
1
0
3
2
1
=
2
;
Es existiert also ein Nicht-Null-Minor der Ordnung
3
, daher gilt rank(
) ≥
3
;
Wir bezeichnen diesen Minor als
M
0
3
;
5
SCHRITT [0]Versuchen wir, einen beliebigen Nicht-Null-Minor der Ordnung
4
(
M
0
4
) zu finden, der an den Minor der Ordnung
3
(
M
0
3
) angrenzt;
Suche einen Minor der Ordnung
4
, der an den Minor der Ordnung
3
am Schnittpunkt von Zeile
3
und Spalte
1, 2, 3, 4
angrenzt;
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
1
2
2
1
0
4
3
2
1
6
4
1
3
8
=
0
Dieser Minor ist gleich Null;
Also setzen wir die Suche fort, falls möglich!
Wir haben also alle Minoren der Ordnung
4
, die an den Minor
M
0
3
angrenzen, überprüft, aber alle sind gleich Null;
Der letzte Nicht-Null-Minor war also von der Ordnung
3
, daher gilt rank(
) =
3
;
Answer
rank(A) = rank(
A
) =
3
;
Größe4×4MethodeRandminoren