O kalkulatorze dekompozycji na wartości własne (diagonalizacji macierzy)
To jest darmowy, internetowy kalkulator dekompozycji na wartości własne (diagonalizacji macierzy) z pełnym, szczegółowym, krok po kroku opisem rozwiązań, który wykonuje operacje na macierzach o rozmiarze do 99x99 z elementami macierzowymi następujących typów: liczby dziesiętne, ułamki, liczby zespolone, zmienne.
Aby rozpocząć obliczenia, należy najpierw wprowadzić rozmiar macierzy w polu wejściowym, które znajduje się w górnej części ekranu, a także wybrać metodę obliczeń.
Nieco niżej znajduje się okno macierzy, w którym należy wprowadzić elementy macierzy za pomocą klawiatury. Znajduje się tu również panel kontrolny macierzy, który upraszcza pracę z macierzami i zawiera następujące elementy sterujące:
- Pierwszy element pozwala na powiększenie okna macierzy. Może to być szczególnie przydatne w przypadku, gdy trzeba wykonać obliczenia na bardzo dużych macierzach, które nie mieszczą się w całości. Jeśli macierz nadal nie jest widoczna po powiększeniu okna, można zmienić jej skalę za pomocą przycisków + / -;
- Drugi element wykonuje funkcję kopiowania wprowadzanej macierzy do bufora pamięci. Może to być przydatne w przypadku, gdy często używa się tej samej macierzy do obliczeń lub gdy trzeba przenosić macierze między operacjami;
- Ostatni element wstawia wcześniej skopiowaną macierz, co pozwala przyspieszyć proces wprowadzania macierzy do zaledwie kilku kliknięć, zamiast robić to ręcznie;
Niżej znajduje się pasek narzędzi, który pozwala na dostosowanie kalkulatora i ułatwienie pracy z nim. Jest on wizualnie podzielony na trzy części, z których każda odpowiada za następującą funkcjonalność:
- Pierwsza pozwala na wybór formatu liczb przy wyświetlaniu wyniku rozwiązania. Można tu również wyłączyć komentarze do rozwiązania zadania, jeśli użytkownik zrozumiał już, jak rozwiązać to zadanie i używa kalkulatora do przyspieszenia lub sprawdzenia własnych obliczeń. Można również całkowicie wyłączyć rozwiązanie krok po kroku, jeśli potrzebny jest tylko wynik rozwiązania;
- Druga zawiera przyciski, które pozwalają na zmianę typu pola wprowadzania macierzy, wymazanie jej elementów lub całej macierzy, oraz największy przycisk ze znakiem równości, który przeniesie użytkownika do ekranu z rozwiązaniem zadania. Wszystkie te przyciski są zduplikowane przez klawisze na klawiaturze. Aby dowiedzieć się, który klawisz na klawiaturze należy nacisnąć, wystarczy najechać kursorem na jeden z przycisków, a pojawi się wskazówka z nazwą klawisza. Można również używać strzałek na klawiaturze do poruszania kursorem między polami wprowadzania macierzy;
- Ostatnia pozwala na wybór liczby cyfr po przecinku do zaokrąglania liczb nie całkowitych. Można tu również od razu zobaczyć przykład, jak będą wyglądały zaokrąglone ułamki;
Czym jest dekompozycja na wartości własne macierzy?
Dekompozycja na wartości własne to faktoryzacja danej macierzy kwadratowej na trzy macierze, z których jedna składa się z wektorów własnych i każda kolumna tej macierzy jest pewną wektorem własnym, druga macierz nazywana jest macierzą diagonalną, a na jej głównej przekątnej umieszczone są wartości własne oryginalnej macierzy, a wszystkie pozostałe elementy są równe zero, a trzecia macierz jest macierzą odwrotną macierzy złożonej z wektorów własnych. Ważne jest, aby zaznaczyć, że wektory własne muszą być umieszczone w macierzy złożonej z wektorów własnych w tej samej kolumnie, co odpowiadające im wartości własne w macierzy diagonalnej. Iloczyn macierzy złożonej z wektorów własnych, macierzy diagonalnej i macierzy odwrotnej macierzy złożonej z wektorów własnych powinien dać oryginalną macierz.
Jak przeprowadzić dekompozycję na wartości własne macierzy?
Najpierw musimy znaleźć wartości własne i wektory własne oryginalnej macierzy, co pozwoli nam skomponować macierz diagonalną i macierz złożoną z wektorów własnych. Następnie musimy znaleźć macierz odwrotną macierzy złożonej z wektorów własnych.
Źródła
