Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
O kalkulatorze dekompozycji biegunowej macierzy
To jest darmowy, internetowy kalkulator dekompozycji biegunowej macierzy z pełnym, szczegółowym, krok po kroku opisem rozwiązań, który wykonuje operacje na macierzach o rozmiarze do 99x99 z elementami macierzowymi następujących typów: liczby dziesiętne, ułamki, liczby zespolone, zmienne.
Aby rozpocząć obliczenia, należy najpierw wprowadzić rozmiar macierzy w polu wejściowym, które znajduje się w górnej części ekranu, a także wybrać metodę obliczeń.
Nieco niżej znajduje się okno macierzy, w którym należy wprowadzić elementy macierzy za pomocą klawiatury. Znajduje się tu również panel kontrolny macierzy, który upraszcza pracę z macierzami i zawiera następujące elementy sterujące:
- Pierwszy element pozwala na powiększenie okna macierzy. Może to być szczególnie przydatne w przypadku, gdy trzeba wykonać obliczenia na bardzo dużych macierzach, które nie mieszczą się w całości. Jeśli macierz nadal nie jest widoczna po powiększeniu okna, można zmienić jej skalę za pomocą przycisków + / -;
- Drugi element wykonuje funkcję kopiowania wprowadzanej macierzy do bufora pamięci. Może to być przydatne w przypadku, gdy często używa się tej samej macierzy do obliczeń lub gdy trzeba przenosić macierze między operacjami;
- Ostatni element wstawia wcześniej skopiowaną macierz, co pozwala przyspieszyć proces wprowadzania macierzy do zaledwie kilku kliknięć, zamiast robić to ręcznie;
Niżej znajduje się pasek narzędzi, który pozwala na dostosowanie kalkulatora i ułatwienie pracy z nim. Jest on wizualnie podzielony na trzy części, z których każda odpowiada za następującą funkcjonalność:
- Pierwsza pozwala na wybór formatu liczb przy wyświetlaniu wyniku rozwiązania. Można tu również wyłączyć komentarze do rozwiązania zadania, jeśli użytkownik zrozumiał już, jak rozwiązać to zadanie i używa kalkulatora do przyspieszenia lub sprawdzenia własnych obliczeń. Można również całkowicie wyłączyć rozwiązanie krok po kroku, jeśli potrzebny jest tylko wynik rozwiązania;
- Druga zawiera przyciski, które pozwalają na zmianę typu pola wprowadzania macierzy, wymazanie jej elementów lub całej macierzy, oraz największy przycisk ze znakiem równości, który przeniesie użytkownika do ekranu z rozwiązaniem zadania. Wszystkie te przyciski są zduplikowane przez klawisze na klawiaturze. Aby dowiedzieć się, który klawisz na klawiaturze należy nacisnąć, wystarczy najechać kursorem na jeden z przycisków, a pojawi się wskazówka z nazwą klawisza. Można również używać strzałek na klawiaturze do poruszania kursorem między polami wprowadzania macierzy;
- Ostatnia pozwala na wybór liczby cyfr po przecinku do zaokrąglania liczb nie całkowitych. Można tu również od razu zobaczyć przykład, jak będą wyglądały zaokrąglone ułamki;
Czym jest dekompozycja biegunowa macierzy?
Dekompozycja biegunowa to faktoryzacja danej macierzy kwadratowej na dwie macierze, z których jedna jest macierzą unitarną, a druga macierzą hermitowską pozytywnie półokreśloną. Iloczyn macierzy unitarnej i macierzy hermitowskiej pozytywnie półokreślonej powinien dać oryginalną macierz.
Jak przeprowadzić dekompozycję biegunową macierzy?
Najpierw musimy znaleźć macierz hermitowską danej macierzy, mnożąc oryginalną macierz przez jej macierz transponowaną. Następnie musimy obliczyć pierwiastek kwadratowy macierzy hermitowskiej. Potem możemy obliczyć macierz unitarną, mnożąc oryginalną macierz przez macierz odwrotną pierwiastka kwadratowego macierzy hermitowskiej. A macierz hermitowska pozytywnie półokreślona jest równa pierwiastkowi kwadratowemu macierzy hermitowskiej.
Przykład dekompozycji biegunowej macierzy
Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy
A
w postaci
A
=
U
*
P
.
Aby wykonać rozkład biegunowy macierzy
A
, należy wykonać następujące czynności:
1)
Oblicz część hermitowską (macierz H) macierzy A.H
=
A
T
0
*
A
;
2)
Oblicz pierwiastek kwadratowy (macierz S) macierzy H.3)
Oblicz macierz unitarną: .U
=
A
*
S
-1
0
;
4)
Macierz P jest równa macierzy S.2
Macierz AᵀA
T
0
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
a
T
0
0
1,1
=
a
0
1,1
=
71
;
a
T
0
0
1,2
=
a
0
2,1
=
7
;
a
T
0
0
1,3
=
a
0
3,1
=
2
;
a
T
0
0
1,4
=
a
0
4,1
=
4
;
a
T
0
0
2,1
=
a
0
1,2
=
8
;
a
T
0
0
2,2
=
a
0
2,2
=
8
;
a
T
0
0
2,3
=
a
0
3,2
=
5
;
a
T
0
0
2,4
=
a
0
4,2
=
5
;
a
T
0
0
3,1
=
a
0
1,3
=
5
;
a
T
0
0
3,2
=
a
0
2,3
=
5
;
a
T
0
0
3,3
=
a
0
3,3
=
8
;
a
T
0
0
3,4
=
a
0
4,3
=
5
;
a
T
0
0
4,1
=
a
0
1,4
=
2
;
a
T
0
0
4,2
=
a
0
2,4
=
2
;
a
T
0
0
4,3
=
a
0
3,4
=
7
;
a
T
0
0
4,4
=
a
0
4,4
=
2
;
Ukryj opis
16 elementów
3
Macierz HH
=
A
T
0
·
A
=
71
8
5
2
7
8
5
2
2
5
8
7
4
5
5
2
·
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
=
5110
654
426
178
654
178
145
77
426
145
139
86
178
77
86
61
h
0
1,1
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,1
=
71
*
71
+
7
*
7
+
2
*
2
+
4
*
4
=
5110
;
h
0
1,2
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,2
=
71
*
8
+
7
*
8
+
2
*
5
+
4
*
5
=
654
;
h
0
1,3
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,3
=
71
*
5
+
7
*
5
+
2
*
8
+
4
*
5
=
426
;
h
0
1,4
=
a
T
0
0
1,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
1,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
1,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
1,4
·
a
0
4,4
=
71
*
2
+
7
*
2
+
2
*
7
+
4
*
2
=
178
;
h
0
2,1
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,1
=
8
*
71
+
8
*
7
+
5
*
2
+
5
*
4
=
654
;
h
0
2,2
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,2
=
8
*
8
+
8
*
8
+
5
*
5
+
5
*
5
=
178
;
h
0
2,3
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,3
=
8
*
5
+
8
*
5
+
5
*
8
+
5
*
5
=
145
;
h
0
2,4
=
a
T
0
0
2,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
2,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
2,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
2,4
·
a
0
4,4
=
8
*
2
+
8
*
2
+
5
*
7
+
5
*
2
=
77
;
h
0
3,1
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,1
=
5
*
71
+
5
*
7
+
8
*
2
+
5
*
4
=
426
;
h
0
3,2
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,2
=
5
*
8
+
5
*
8
+
8
*
5
+
5
*
5
=
145
;
h
0
3,3
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,3
=
5
*
5
+
5
*
5
+
8
*
8
+
5
*
5
=
139
;
h
0
3,4
=
a
T
0
0
3,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
3,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
3,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
3,4
·
a
0
4,4
=
5
*
2
+
5
*
2
+
8
*
7
+
5
*
2
=
86
;
h
0
4,1
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,1
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,1
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,1
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,1
=
2
*
71
+
2
*
7
+
7
*
2
+
2
*
4
=
178
;
h
0
4,2
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,2
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,2
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,2
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,2
=
2
*
8
+
2
*
8
+
7
*
5
+
2
*
5
=
77
;
h
0
4,3
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,3
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,3
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,3
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,3
=
2
*
5
+
2
*
5
+
7
*
8
+
2
*
5
=
86
;
h
0
4,4
=
a
T
0
0
4,1
·
a
0
1,4
+
a
T
0
0
4,2
·
a
0
2,4
+
a
T
0
0
4,3
·
a
0
3,4
+
a
T
0
0
4,4
·
a
0
4,4
=
2
*
2
+
2
*
2
+
7
*
7
+
2
*
2
=
61
;
Ukryj opis
16 elementów
4
Pierwiastek kwadratowyS
=
70
57
65
7
84
103
4
73
99
1
32
41
7
79
98
8
74
97
5
61
71
2
62
137
4
46
63
5
28
33
7
65
102
4
49
55
1
47
60
2
77
169
4
97
109
5
19
68
5
Macierz odwrotnaS
-1
0
=
87
5516
-
38
2457
51
22277
-
29
131995
-
97
6283
65
213
-
64
191
4
23
17
7434
-
1
3
85
121
-
1
2
-
75
344066
73
419
-
1
2
4
7
6
Macierz UU
=
A
·
S
-1
0
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
·
87
5516
-
38
2457
51
22277
-
29
131995
-
97
6283
65
213
-
64
191
4
23
17
7434
-
1
3
85
121
-
1
2
-
75
344066
73
419
-
1
2
4
7
=
1
-
34
11895
-
67
2277
-
80
22303
65
15512
50
51
53
1823
82
631
69
4067
-
81
629
97
201
68
79
39
1627
17
450
43
49
-
43
89
u
0
1,1
=
a
0
1,1
·
s
-1
0
0
1,1
+
a
0
1,2
·
s
-1
0
0
2,1
+
a
0
1,3
·
s
-1
0
0
3,1
+
a
0
1,4
·
s
-1
0
0
4,1
=
71
*
87
5516
+
8
*
-
38
2457
+
5
*
51
22277
+
2
*
-
29
131995
=
1
;
u
0
1,2
=
a
0
1,1
·
s
-1
0
0
1,2
+
a
0
1,2
·
s
-1
0
0
2,2
+
a
0
1,3
·
s
-1
0
0
3,2
+
a
0
1,4
·
s
-1
0
0
4,2
=
71
*
-
97
6283
+
8
*
65
213
+
5
*
-
64
191
+
2
*
4
23
=
65
15512
;
u
0
1,3
=
a
0
1,1
·
s
-1
0
0
1,3
+
a
0
1,2
·
s
-1
0
0
2,3
+
a
0
1,3
·
s
-1
0
0
3,3
+
a
0
1,4
·
s
-1
0
0
4,3
=
71
*
17
7434
+
8
*
-
1
3
+
5
*
85
121
+
2
*
-
1
2
=
69
4067
;
u
0
1,4
=
a
0
1,1
·
s
-1
0
0
1,4
+
a
0
1,2
·
s
-1
0
0
2,4
+
a
0
1,3
·
s
-1
0
0
3,4
+
a
0
1,4
·
s
-1
0
0
4,4
=
71
*
-
75
344066
+
8
*
73
419
+
5
*
-
1
2
+
2
*
4
7
=
39
1627
;
u
0
2,1
=
a
0
2,1
·
s
-1
0
0
1,1
+
a
0
2,2
·
s
-1
0
0
2,1
+
a
0
2,3
·
s
-1
0
0
3,1
+
a
0
2,4
·
s
-1
0
0
4,1
=
7
*
87
5516
+
8
*
-
38
2457
+
5
*
51
22277
+
2
*
-
29
131995
=
-
34
11895
;
u
0
2,2
=
a
0
2,1
·
s
-1
0
0
1,2
+
a
0
2,2
·
s
-1
0
0
2,2
+
a
0
2,3
·
s
-1
0
0
3,2
+
a
0
2,4
·
s
-1
0
0
4,2
=
7
*
-
97
6283
+
8
*
65
213
+
5
*
-
64
191
+
2
*
4
23
=
50
51
;
u
0
2,3
=
a
0
2,1
·
s
-1
0
0
1,3
+
a
0
2,2
·
s
-1
0
0
2,3
+
a
0
2,3
·
s
-1
0
0
3,3
+
a
0
2,4
·
s
-1
0
0
4,3
=
7
*
17
7434
+
8
*
-
1
3
+
5
*
85
121
+
2
*
-
1
2
=
-
81
629
;
u
0
2,4
=
a
0
2,1
·
s
-1
0
0
1,4
+
a
0
2,2
·
s
-1
0
0
2,4
+
a
0
2,3
·
s
-1
0
0
3,4
+
a
0
2,4
·
s
-1
0
0
4,4
=
7
*
-
75
344066
+
8
*
73
419
+
5
*
-
1
2
+
2
*
4
7
=
17
450
;
u
0
3,1
=
a
0
3,1
·
s
-1
0
0
1,1
+
a
0
3,2
·
s
-1
0
0
2,1
+
a
0
3,3
·
s
-1
0
0
3,1
+
a
0
3,4
·
s
-1
0
0
4,1
=
2
*
87
5516
+
5
*
-
38
2457
+
8
*
51
22277
+
7
*
-
29
131995
=
-
67
2277
;
u
0
3,2
=
a
0
3,1
·
s
-1
0
0
1,2
+
a
0
3,2
·
s
-1
0
0
2,2
+
a
0
3,3
·
s
-1
0
0
3,2
+
a
0
3,4
·
s
-1
0
0
4,2
=
2
*
-
97
6283
+
5
*
65
213
+
8
*
-
64
191
+
7
*
4
23
=
53
1823
;
u
0
3,3
=
a
0
3,1
·
s
-1
0
0
1,3
+
a
0
3,2
·
s
-1
0
0
2,3
+
a
0
3,3
·
s
-1
0
0
3,3
+
a
0
3,4
·
s
-1
0
0
4,3
=
2
*
17
7434
+
5
*
-
1
3
+
8
*
85
121
+
7
*
-
1
2
=
97
201
;
u
0
3,4
=
a
0
3,1
·
s
-1
0
0
1,4
+
a
0
3,2
·
s
-1
0
0
2,4
+
a
0
3,3
·
s
-1
0
0
3,4
+
a
0
3,4
·
s
-1
0
0
4,4
=
2
*
-
75
344066
+
5
*
73
419
+
8
*
-
1
2
+
7
*
4
7
=
43
49
;
u
0
4,1
=
a
0
4,1
·
s
-1
0
0
1,1
+
a
0
4,2
·
s
-1
0
0
2,1
+
a
0
4,3
·
s
-1
0
0
3,1
+
a
0
4,4
·
s
-1
0
0
4,1
=
4
*
87
5516
+
5
*
-
38
2457
+
5
*
51
22277
+
2
*
-
29
131995
=
-
80
22303
;
u
0
4,2
=
a
0
4,1
·
s
-1
0
0
1,2
+
a
0
4,2
·
s
-1
0
0
2,2
+
a
0
4,3
·
s
-1
0
0
3,2
+
a
0
4,4
·
s
-1
0
0
4,2
=
4
*
-
97
6283
+
5
*
65
213
+
5
*
-
64
191
+
2
*
4
23
=
82
631
;
u
0
4,3
=
a
0
4,1
·
s
-1
0
0
1,3
+
a
0
4,2
·
s
-1
0
0
2,3
+
a
0
4,3
·
s
-1
0
0
3,3
+
a
0
4,4
·
s
-1
0
0
4,3
=
4
*
17
7434
+
5
*
-
1
3
+
5
*
85
121
+
2
*
-
1
2
=
68
79
;
u
0
4,4
=
a
0
4,1
·
s
-1
0
0
1,4
+
a
0
4,2
·
s
-1
0
0
2,4
+
a
0
4,3
·
s
-1
0
0
3,4
+
a
0
4,4
·
s
-1
0
0
4,4
=
4
*
-
75
344066
+
5
*
73
419
+
5
*
-
1
2
+
2
*
4
7
=
-
43
89
;
Ukryj opis
16 elementów
7
Macierz PP
=
S
=
70
57
65
7
84
103
4
73
99
1
32
41
7
79
98
8
74
97
5
61
71
2
62
137
4
46
63
5
28
33
7
65
102
4
49
55
1
47
60
2
77
169
4
97
109
5
19
68
Answer
A = U · PU
=
1
-
34
11895
-
67
2277
-
80
22303
65
15512
50
51
53
1823
82
631
69
4067
-
81
629
97
201
68
79
39
1627
17
450
43
49
-
43
89
P
=
70
57
65
7
84
103
4
73
99
1
32
41
7
79
98
8
74
97
5
61
71
2
62
137
4
46
63
5
28
33
7
65
102
4
49
55
1
47
60
2
77
169
4
97
109
5
19
68
Rozmiar4×4