Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
O kalkulatorze wartości własnych macierzy
To jest darmowy, internetowy kalkulator wartości własnych macierzy z pełnym, szczegółowym, krok po kroku opisem rozwiązań, który wykonuje operacje na macierzach o rozmiarze do 99x99 z elementami macierzowymi następujących typów: liczby dziesiętne, ułamki, liczby zespolone, zmienne.
Aby rozpocząć obliczenia, należy najpierw wprowadzić rozmiar macierzy w polu wejściowym, które znajduje się w górnej części ekranu, a także wybrać metodę obliczeń.
Nieco niżej znajduje się okno macierzy, w którym należy wprowadzić elementy macierzy za pomocą klawiatury. Znajduje się tu również panel kontrolny macierzy, który upraszcza pracę z macierzami i zawiera następujące elementy sterujące:
- Pierwszy element pozwala na powiększenie okna macierzy. Może to być szczególnie przydatne w przypadku, gdy trzeba wykonać obliczenia na bardzo dużych macierzach, które nie mieszczą się w całości. Jeśli macierz nadal nie jest widoczna po powiększeniu okna, można zmienić jej skalę za pomocą przycisków + / -;
- Drugi element wykonuje funkcję kopiowania wprowadzanej macierzy do bufora pamięci. Może to być przydatne w przypadku, gdy często używa się tej samej macierzy do obliczeń lub gdy trzeba przenosić macierze między operacjami;
- Ostatni element wstawia wcześniej skopiowaną macierz, co pozwala przyspieszyć proces wprowadzania macierzy do zaledwie kilku kliknięć, zamiast robić to ręcznie;
Niżej znajduje się pasek narzędzi, który pozwala na dostosowanie kalkulatora i ułatwienie pracy z nim. Jest on wizualnie podzielony na trzy części, z których każda odpowiada za następującą funkcjonalność:
- Pierwsza pozwala na wybór formatu liczb przy wyświetlaniu wyniku rozwiązania. Można tu również wyłączyć komentarze do rozwiązania zadania, jeśli użytkownik zrozumiał już, jak rozwiązać to zadanie i używa kalkulatora do przyspieszenia lub sprawdzenia własnych obliczeń. Można również całkowicie wyłączyć rozwiązanie krok po kroku, jeśli potrzebny jest tylko wynik rozwiązania;
- Druga zawiera przyciski, które pozwalają na zmianę typu pola wprowadzania macierzy, wymazanie jej elementów lub całej macierzy, oraz największy przycisk ze znakiem równości, który przeniesie użytkownika do ekranu z rozwiązaniem zadania. Wszystkie te przyciski są zduplikowane przez klawisze na klawiaturze. Aby dowiedzieć się, który klawisz na klawiaturze należy nacisnąć, wystarczy najechać kursorem na jeden z przycisków, a pojawi się wskazówka z nazwą klawisza. Można również używać strzałek na klawiaturze do poruszania kursorem między polami wprowadzania macierzy;
- Ostatnia pozwala na wybór liczby cyfr po przecinku do zaokrąglania liczb nie całkowitych. Można tu również od razu zobaczyć przykład, jak będą wyglądały zaokrąglone ułamki;
Czym są wartości własne macierzy?
Definicja wartości własnych jest ściśle związana z wektorami własnymi. Wektory własne to wektory, których kierunki nie zmieniają się podczas transformacji liniowej, ale są skalowane przez stały czynnik, a ten stały czynnik, przez który wektory własne są skalowane podczas transformacji liniowej, jest wartością własną.
Jak znaleźć wartości własne macierzy?
Najpierw musimy znaleźć równanie charakterystyczne danej macierzy, a następnie je rozwiązać. Pierwiastki równania charakterystycznego danej macierzy są również wartościami własnymi tej macierzy. Można obliczyć tylko wartości własne macierzy kwadratowych.
Przykład znajdowania wartości własnych macierzy
Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
Aby znaleźć wartości własne macierzy
A
, należy wykonać następujące czynności:
1)
Znaleźć równanie charakterystyczne macierzy A. W tym celu należy wykonać następujące czynności:Utworzyć nową macierz (A - λI) poprzez odjęcie λ od wszystkich elementów głównej przekątnej macierzy A.
Znaleźć wyznacznik macierzy A - λI.
Przyrównać wyznacznik macierzy A - λI do zera.
2)
Rozwiązać równanie charakterystyczne macierzy A.3)
Pierwiastki równania charakterystycznego macierzy A są również jej wartościami własnymi.2
Form A − λ·IUtwórz macierz
A - λI
:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
Teraz należy znaleźć wyznacznik tej macierzy.
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
Równanie charakterystyczneZnaleźliśmy następujący wyznacznik macierzy
A - λI
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
Przyrównujemy ten wyznacznik do zera i otrzymujemy równanie charakterystyczne macierzy
A
:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Teraz możemy rozwiązać to równanie, a jego pierwiastki dadzą nam wartości własne macierzy
A
.
5
Rozwiązanie równania charakterystycznegoZapisz początkowe równanie, którego rozwiązania należy znaleźć:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
Jak widać z równania, maksymalny stopień zmiennej wynosi
4
, co oznacza, że mamy równanie następującego typu:
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
Aby rozwiązać to równanie, możemy użyć metody Ferrariego, która polega na sprowadzeniu równania początkowego do postaci kwartycznej sprowadzonej;
Postać kwartyczna sprowadzona oznacza usunięcie z równania
λ
3
0
i ma następującą postać:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
Dodatkowo, jeśli
a
nie jest równe
1
, to przed sprowadzeniem równania do postaci kwartycznej sprowadzonej należy podzielić wszystkie współczynniki równania przez
a
i wcześniej zapisać wartości
a
i
b
w zmiennych
aOrigin
i
bOrigin
, ponieważ później te wartości będą nam potrzebne do rozwiązania równania:
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
Następnie, zgodnie z metodą Ferrariego, należy znaleźć następujące równanie sześcienne równoważne równaniu postaci kwartycznej sprowadzonej:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
Teraz należy rozwiązać powstałe równanie sześcienne, na przykład metodą Cardana;
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
to pierwiastki równania sześciennego;
Na koniec możemy znaleźć pierwiastki
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
równania początkowego:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
To jest ogólny wzór na
y
0
1
> 0
i
y
0
3
> 0
, szczególne przypadki wzoru są opisane poniżej;
6
Szczególne przypadki wzoruy
0
1
> 0
i
y
0
2
= 0
i
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
i
y
0
2
> 0
i
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
i
y
0
2
> 0
i
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
W następujących przypadkach równanie będzie miało nierealne pierwiastki sprzężone zespolone;
Jeśli
y
0
2
i
y
0
3
są liczbami zespolonymi lub
y
0
2
< 0
i
y
0
3
< 0
:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
i
y
0
2
< 0
i
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
Dla każdego przypadku:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
Postać kwartyczna sprowadzonaPodziel każdy współczynnik przez a:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
Teraz możemy znaleźć współczynniki równania postaci kwartycznej sprowadzonej:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
Postać kwartyczna sprowadzona
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
Równanie sześciennem
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
Równanie sześcienne
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
Rozwiąż to równanie metodą Cardana:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
PierwiastkiP
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
Rozmiar4×4