Macierz odwrotna kalkulator

Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  O kalkulatorze macierzy odwrotnej

To jest darmowy, internetowy kalkulator macierzy odwrotnej korzystający z metody kofaktorowej, Gaussa-Jordana, eliminacji Gaussa, Montante (algorytm Bareissa) z pełnym, szczegółowym, krok po kroku opisem rozwiązań, który wykonuje operacje na macierzach o rozmiarze do 99x99 z elementami macierzowymi następujących typów: liczby dziesiętne, ułamki, liczby zespolone, zmienne.

Aby rozpocząć obliczenia, należy najpierw wprowadzić rozmiar macierzy w polu wejściowym, które znajduje się w górnej części ekranu, a także wybrać metodę obliczeń.

Nieco niżej znajduje się okno macierzy, w którym należy wprowadzić elementy macierzy za pomocą klawiatury. Znajduje się tu również panel kontrolny macierzy, który upraszcza pracę z macierzami i zawiera następujące elementy sterujące:

  • Pierwszy element pozwala na powiększenie okna macierzy. Może to być szczególnie przydatne w przypadku, gdy trzeba wykonać obliczenia na bardzo dużych macierzach, które nie mieszczą się w całości. Jeśli macierz nadal nie jest widoczna po powiększeniu okna, można zmienić jej skalę za pomocą przycisków + / -;
  • Drugi element wykonuje funkcję kopiowania wprowadzanej macierzy do bufora pamięci. Może to być przydatne w przypadku, gdy często używa się tej samej macierzy do obliczeń lub gdy trzeba przenosić macierze między operacjami;
  • Ostatni element wstawia wcześniej skopiowaną macierz, co pozwala przyspieszyć proces wprowadzania macierzy do zaledwie kilku kliknięć, zamiast robić to ręcznie;

Niżej znajduje się pasek narzędzi, który pozwala na dostosowanie kalkulatora i ułatwienie pracy z nim. Jest on wizualnie podzielony na trzy części, z których każda odpowiada za następującą funkcjonalność:

  • Pierwsza pozwala na wybór formatu liczb przy wyświetlaniu wyniku rozwiązania. Można tu również wyłączyć komentarze do rozwiązania zadania, jeśli użytkownik zrozumiał już, jak rozwiązać to zadanie i używa kalkulatora do przyspieszenia lub sprawdzenia własnych obliczeń. Można również całkowicie wyłączyć rozwiązanie krok po kroku, jeśli potrzebny jest tylko wynik rozwiązania;
  • Druga zawiera przyciski, które pozwalają na zmianę typu pola wprowadzania macierzy, wymazanie jej elementów lub całej macierzy, oraz największy przycisk ze znakiem równości, który przeniesie użytkownika do ekranu z rozwiązaniem zadania. Wszystkie te przyciski są zduplikowane przez klawisze na klawiaturze. Aby dowiedzieć się, który klawisz na klawiaturze należy nacisnąć, wystarczy najechać kursorem na jeden z przycisków, a pojawi się wskazówka z nazwą klawisza. Można również używać strzałek na klawiaturze do poruszania kursorem między polami wprowadzania macierzy;
  • Ostatnia pozwala na wybór liczby cyfr po przecinku do zaokrąglania liczb nie całkowitych. Można tu również od razu zobaczyć przykład, jak będą wyglądały zaokrąglone ułamki;

  Czym jest macierz odwrotna(macierz do potęgi -1)?

Jeśli weźmiemy dowolną liczbę i podzielimy 1 przez tę liczbę, znajdziemy odwrotność, która jest odwrotnością tej liczby, a jeśli pomnożymy tę liczbę przez jej odwrotność, otrzymamy 1. Podobnie jak zwykłe liczby mają odwrotności, tak macierze kwadratowe mogą mieć macierz odwrotną, jeśli ich wyznacznik nie jest równy 0, w przeciwnym razie macierze te są uważane za osobliwe i niemożliwe jest znalezienie dla nich macierzy odwrotnej. A jeśli pomnożymy macierz przez jej macierz odwrotną, otrzymamy w wyniku macierz jednostkową. Macierz jednostkowa jest macierzą, która zachowuje się względem innych macierzy w podobny sposób jak liczba 1 względem innych liczb, gdy mnożymy dowolną macierz przez macierz jednostkową, otrzymamy w wyniku tę samą macierz. W macierzy jednostkowej elementy na głównej przekątnej są równe 1, a wszystkie pozostałe elementy są równe 0.

  Jak znaleźć macierz odwrotną za pomocą metody Gaussa-Jordana?

Aby znaleźć macierz odwrotną za pomocą metody Gaussa-Jordana, możemy dodać do macierzy macierz jednostkową o tych samych wymiarach po jej prawej stronie. Następnie, jeśli zastosujemy do takiej macierzy metodę Gaussa-Jordana w taki sposób, aby po lewej stronie utworzyła się macierz jednostkowa, to po prawej stronie otrzymamy macierz odwrotną.

  Przykład obliczania macierzy odwrotnej

Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
2
1
1
1
3
0
1
2
0
Aby znaleźć macierz odwrotną macierzy
A
, możemy dodać do niej po prawej stronie macierz jednostkową o tym samym rozmiarze;
Następnie, używając metody
Gauss-Jordan
, przekształcamy macierz tak, aby lewa część stała się macierzą jednostkową, a w prawej części otrzymujemy macierz odwrotną macierzy
A
;
Zapisz rozszerzoną macierz (dodając macierz jednostkową na prawo od macierzy
A
):
2
1
1
1
3
0
1
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
Iteracja 1
Podziel
1
wiersz przez
2
;
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
a
0
1,1
=
2
2
=
1
;
a
0
1,2
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,3
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,4
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,5
=
0
2
=
0
;
a
0
1,6
=
0
2
=
0
;
Ukryj opis
Uzyskaj zera w kolumnie
1
;
Element o indeksach
1,1
staje się elementem wiodącym;
Wiersz zawierający element wiodący pozostaje bez zmian;
Wszystkie pozostałe elementy macierzy znajdują się metodą prostokąta względem elementu wiodącego:
Wyzeruj kolumnę zawierającą element wiodący:
1
0
0
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
a
0
2,2
=
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
3
*
1
- (
1
*
1
2
) =
2
1
2
;
a
0
2,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
2
*
1
- (
1
*
1
2
) =
1
1
2
;
a
0
2,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
2,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,6
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,2
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,6
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
Ukryj opis
4
Iteracja 2
Podziel
2
wiersz przez
2
1
2
;
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
a
0
2,2
=
2
1
2
2
1
2
=
1
;
a
0
2,3
=
1
1
2
2
1
2
=
3
5
;
a
0
2,4
=
-
1
2
2
1
2
=
-
1
5
;
a
0
2,5
=
1
2
1
2
=
2
5
;
a
0
2,6
=
0
2
1
2
=
0
;
Ukryj opis
Uzyskaj zera w kolumnie
2
;
Element o indeksach
2,2
staje się elementem wiodącym;
Wiersz zawierający element wiodący pozostaje bez zmian;
Wszystkie pozostałe elementy macierzy znajdują się metodą prostokąta względem elementu wiodącego:
Wyzeruj kolumnę zawierającą element wiodący:
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
a
0
1,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
3
5
) =
1
5
;
a
0
1,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
-
1
5
) =
3
5
;
a
0
1,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
1
2
*
2
5
) =
-
1
5
;
a
0
1,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,6
) =
0
*
1
- (
1
2
*
0
) =
0
;
a
0
3,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
3
5
) =
-
1
5
;
a
0
3,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-
1
5
) =
-
3
5
;
a
0
3,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
-
1
2
*
2
5
) =
1
5
;
a
0
3,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,6
) =
1
*
1
- (
-
1
2
*
0
) =
1
;
Ukryj opis
5
Iteracja 3
Podziel
3
wiersz przez
-
1
5
;
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
a
0
3,3
=
-
1
5
-
1
5
=
1
;
a
0
3,4
=
-
3
5
-
1
5
=
3
;
a
0
3,5
=
1
5
-
1
5
=
-1
;
a
0
3,6
=
1
-
1
5
=
-5
;
Ukryj opis
Uzyskaj zera w kolumnie
3
;
Element o indeksach
3,3
staje się elementem wiodącym;
Wiersz zawierający element wiodący pozostaje bez zmian;
Wszystkie pozostałe elementy macierzy znajdują się metodą prostokąta względem elementu wiodącego:
Wyzeruj kolumnę zawierającą element wiodący:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
a
0
1,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
3
5
*
1
- (
1
5
*
3
) =
0
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
5
*
1
- (
1
5
*
-1
) =
0
;
a
0
1,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
1
5
*
-5
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-
1
5
*
1
- (
3
5
*
3
) =
-2
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
2
5
*
1
- (
3
5
*
-1
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
1
-1
1
0
-5
=
a
0
2,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
3
5
*
-5
) =
3
;
Ukryj opis
Answer
B = A⁻¹
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
Rozmiar3×3MetodaGauss-Jordan

  Najczęściej zadawane pytania

Jak obliczyć macierz odwrotną?

Dwie powszechne metody to eliminacja Gaussa-Jordana — rozszerza się macierz o macierz jednostkową i sprowadza wierszami, aż lewy blok stanie się macierzą jednostkową — oraz metoda macierzy dopełnieniowej, w której transponowaną macierz dopełnień algebraicznych dzieli się przez wyznacznik.

Które macierze mają macierz odwrotną?

Odwracalne są tylko macierze kwadratowe o niezerowym wyznaczniku (macierze nieosobliwe). Jeśli wyznacznik jest równy 0, macierz nie ma macierzy odwrotnej.

Czym jest macierz odwrotna macierzy 2×2?

Dla A = [[a, b], [c, d]] macierz odwrotna wynosi 1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]], pod warunkiem że wyznacznik ad − bc jest różny od zera.

Czy macierz odwrotna jest jednoznaczna?

Tak. Jeśli macierz jest odwracalna, jej macierz odwrotna jest jednoznaczna i spełnia A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I, gdzie I jest macierzą jednostkową.

  Metody obliczeń

  Powiązane kalkulatory

  Źródła

Google PlayApp Store