Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Jak znaleźć macierz odwrotną metodą Montante
Zastosuj eliminację w stylu Bareissa zachowującą liczby całkowite do macierzy rozszerzonej [A|I]. Każdy krok eliminacji dzieli się przez poprzedni element główny dokładnie, utrzymując wartości pośrednie jako liczby całkowite. Po pełnej redukcji macierz odwrotna pojawia się po prawej stronie.
Metoda Montante (Bareissa) — przykład pracujący (4×4)
Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
Aby znaleźć macierz odwrotną macierzy
A
, możemy dodać do niej po prawej stronie macierz jednostkową o tym samym rozmiarze;
Następnie, używając metody
Montante (algorytm Bareissa)
, przekształcamy macierz tak, aby lewa część stała się macierzą jednostkową, a w prawej części otrzymujemy macierz odwrotną macierzy
A
;
Zapisz rozszerzoną macierz (dodając macierz jednostkową na prawo od macierzy
A
):
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
Iteracja 1A0
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
W pierwszej iteracji poprzedni element kluczowy jest zawsze równy 1:
p0
=
1
;
Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A0
) o indeksach
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
4
;
Oblicz następną macierz (
A1
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A0
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;Zapisz macierz początkową
A1
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A1
=
4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
to poprzedni element kluczowyp1
to aktualny element kluczowya0
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia1
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1
=
4
0
0
0
1
19
4
-1
0
4
16
4
1
-1
4
11
1
-1
0
-1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
4
Iteracja 2Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A1
) o indeksach
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
19
;
Oblicz następną macierz (
A2
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A1
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p2;Zapisz macierz początkową
A2
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
×××
4
×××
-1
×××
-1
×××
4
×××
0
×××
0
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
to poprzedni element kluczowyp2
to aktualny element kluczowya1
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia2
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4} × {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
-1
4
72
20
5
-1
20
52
5
-1
1
-5
-1
4
-4
1
0
0
19
0
0
0
0
19
5
Iteracja 3Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A2
) o indeksach
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
72
;
Oblicz następną macierz (
A3
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A2
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p3;Zapisz macierz początkową
A3
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
×××
20
×××
1
×××
-4
×××
19
×××
0
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
to poprzedni element kluczowyp3
to aktualny element kluczowya2
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia3
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4} × {4, 5, 6, 7, 8}
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
20
-8
20
176
19
-4
1
-20
-4
16
-4
8
1
-4
19
-20
0
0
0
72
6
Iteracja 4Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A3
) o indeksach
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
176
;
Oblicz następną macierz (
A4
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A3
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p4;Zapisz macierz początkową
A4
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
×××
-20
×××
8
×××
-20
×××
72
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
to poprzedni element kluczowyp4
to aktualny element kluczowya3
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia4
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3} × {5, 6, 7, 8}
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
52
-12
8
-20
-12
40
-12
8
8
-12
52
-20
-20
8
-20
72
7
Macierz odwrotnaPodziel każdy niezerowy element macierzy przez
176
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Answer
B = A⁻¹3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Rozmiar4×4MetodaMontante (algorytm Bareissa)