O kalkulatorze dekompozycji QR macierzy
To jest darmowy, internetowy kalkulator dekompozycji QR macierzy z pełnym, szczegółowym, krok po kroku opisem rozwiązań, który wykonuje operacje na macierzach o rozmiarze do 99x99 z elementami macierzowymi następujących typów: liczby dziesiętne, ułamki, liczby zespolone, zmienne.
Aby rozpocząć obliczenia, należy najpierw wprowadzić rozmiar macierzy w polu wejściowym, które znajduje się w górnej części ekranu, a także wybrać metodę obliczeń.
Nieco niżej znajduje się okno macierzy, w którym należy wprowadzić elementy macierzy za pomocą klawiatury. Znajduje się tu również panel kontrolny macierzy, który upraszcza pracę z macierzami i zawiera następujące elementy sterujące:
- Pierwszy element pozwala na powiększenie okna macierzy. Może to być szczególnie przydatne w przypadku, gdy trzeba wykonać obliczenia na bardzo dużych macierzach, które nie mieszczą się w całości. Jeśli macierz nadal nie jest widoczna po powiększeniu okna, można zmienić jej skalę za pomocą przycisków + / -;
- Drugi element wykonuje funkcję kopiowania wprowadzanej macierzy do bufora pamięci. Może to być przydatne w przypadku, gdy często używa się tej samej macierzy do obliczeń lub gdy trzeba przenosić macierze między operacjami;
- Ostatni element wstawia wcześniej skopiowaną macierz, co pozwala przyspieszyć proces wprowadzania macierzy do zaledwie kilku kliknięć, zamiast robić to ręcznie;
Niżej znajduje się pasek narzędzi, który pozwala na dostosowanie kalkulatora i ułatwienie pracy z nim. Jest on wizualnie podzielony na trzy części, z których każda odpowiada za następującą funkcjonalność:
- Pierwsza pozwala na wybór formatu liczb przy wyświetlaniu wyniku rozwiązania. Można tu również wyłączyć komentarze do rozwiązania zadania, jeśli użytkownik zrozumiał już, jak rozwiązać to zadanie i używa kalkulatora do przyspieszenia lub sprawdzenia własnych obliczeń. Można również całkowicie wyłączyć rozwiązanie krok po kroku, jeśli potrzebny jest tylko wynik rozwiązania;
- Druga zawiera przyciski, które pozwalają na zmianę typu pola wprowadzania macierzy, wymazanie jej elementów lub całej macierzy, oraz największy przycisk ze znakiem równości, który przeniesie użytkownika do ekranu z rozwiązaniem zadania. Wszystkie te przyciski są zduplikowane przez klawisze na klawiaturze. Aby dowiedzieć się, który klawisz na klawiaturze należy nacisnąć, wystarczy najechać kursorem na jeden z przycisków, a pojawi się wskazówka z nazwą klawisza. Można również używać strzałek na klawiaturze do poruszania kursorem między polami wprowadzania macierzy;
- Ostatnia pozwala na wybór liczby cyfr po przecinku do zaokrąglania liczb nie całkowitych. Można tu również od razu zobaczyć przykład, jak będą wyglądały zaokrąglone ułamki;
Czym jest dekompozycja QR macierzy?
Dekompozycja QR to faktoryzacja danej macierzy na dwie macierze, z których jedna jest macierzą ortonormalną, a druga macierzą górnotrójkątną, a iloczyn tych dwóch macierzy daje oryginalną macierz. Dekompozycję QR można zastosować do macierzy, w których liczba kolumn nie przekracza liczby wierszy.
Jak przeprowadzić dekompozycję QR macierzy za pomocą metody Grama-Schmidta?
Najpierw musimy zastosować proces Grama-Schmidta (ortogonalizacja i ortonormalizacja) do kolumn danej macierzy, a otrzymane wektory będą kolumnami macierzy ortonormalnej. Następnie, aby uzyskać macierz górnotrójkątną, musimy znaleźć macierz transponowaną macierzy ortonormalnej i pomnożyć ją przez oryginalną macierz.
Jak przeprowadzić dekompozycję QR macierzy za pomocą odbić Householdera?
Należy zacząć od obliczenia wektora odbicia Householdera dla każdej kolumny danej macierzy. Po zastosowaniu transformacji Householdera do wszystkich kolumn danej macierzy, otrzymana przekształcona macierz będzie macierzą górnotrójkątną. Macierz ortogonalna jest uzyskiwana przez pomnożenie wszystkich macierzy Householdera uzyskanych na każdym etapie podczas obliczania macierzy górnotrójkątnej.
Jak przeprowadzić dekompozycję QR macierzy za pomocą obrotów Givensa?
Możemy użyć obrotów Givensa, aby wyzerować wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej danej macierzy, uzyskując w ten sposób macierz górnotrójkątną. Podczas obliczania macierzy górnotrójkątnej na każdej iteracji będziemy obliczać macierz G, aby wyzerować elementy poniżej głównej przekątnej. Aby uzyskać macierz ortonormalną, należy pomnożyć wszystkie przetransponowane macierze G.
Źródła
