QR decomposition calculator

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Without description (answer only)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  How to compute QR decomposition by Householder reflections

Construct reflectors that zero out subdiagonal entries column by column. Each reflector is determined by the column vector being reduced; the product of the reflectors gives Q (orthogonal), and the reflected matrix is R (upper triangular).

  Householder reflections — worked example (4×4)

Write the initial matrix
A
:
A
=
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
QR
decomposition is a representation of the matrix
A
in the form:
A
=
Q
*
R
;
Matrix
Q
is an orthonormal matrix;
Matrix
R
is an upper triangular matrix;
To perform
QR
decomposition using the Householder reflections method, need to do the following:
1)
Calculate the Householder reflection vector v for each column a of the matrix A
2)
For each column a of the matrix A, we will calculate the Householder matrix H
3)
After we apply the Householder transformation to all columns of matrix A, the resulting transformed matrix A' will be the upper triangular matrix R
4)
The orthogonal matrix Q is obtained by multiplying all the Householder matrices H
To perform
QR
decomposition using the Householder reflection method, need to do the following for each column
a
of the matrix
A
:
1)
Compute the norm ‖a‖ of the column a
2)
Define the sign(s) of column a
s
= -
sgn
(
a
[
i
])
;
// where
sgn(a)
= 1 if a[i] ≥ 0, and -1 otherwise
a[i]
is the i-th element of column a
i
is the column number
3)
Calculate the Householder reflection vector
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
i
;
// where
eᵢ
is the standard basis vector where i-th element is 1 and all other elements are 0
i
is the column number
4)
Normalize the Householder reflection vector
v_norm
=
v
v
;
5)
Calculate the Householder matrix
H
0
i
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
;
6)
Apply the Householder transformation to the matrix
A'
0
i
=
H
0
i
*
A'
0
i - 1
;
7)
Calculate the matrix
Q
0
i
=
Q
0
i - 1
*
H
0
i
;
2
Iteration 1
At the first iteration, the matrix
A'
0
0
is equal to the original matrix
A
:
A'
0
0
=
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
Write the initial matrix
Q
0
0
, which is equal to the identity matrix:
Q
0
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
The vector
a
is equal to the
1
-th column of the matrix
A'
0
0
:
a
=
1
1
0
1
Compute the norm
a
of the column
a
:
a
=
1
19
26
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
+
v
0
2
3
+
v
0
2
4
=
=
1
2
0
+
1
2
0
+
0
2
0
+
1
2
0
=
=
1
+
1
+
0
+
1
=
3
=
1
19
26
;
Hide description
Define the sign(
s
) of column
a
:
s
= -
sgn
(
a
[
1
])
= -
sgn
-(
1
) = -(
1
) =
-1
;
Write the
1
-th standard basis vector:
e
0
1
=
1
0
0
0
Calculate the Householder reflection vector
:
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
1
=
1
1
0
1
-
-1
*
1
19
26
*
1
0
0
0
=
1
1
0
1
-
-1
19
26
0
0
0
=
2
19
26
1
0
1
;
Normalize the Householder reflection vector
:
v_norm
=
v
v
=
25
28
41
126
0
41
126
Calculate the Householder reflection vector
:
H
0
1
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
25
28
41
126
0
41
126
*
25
28
41
126
0
41
126
=
=
25
28
41
126
0
41
126
·
25
28
41
126
0
41
126
=
19
24
13
45
0
13
45
13
45
17
159
0
17
159
0
0
0
0
13
45
17
159
0
17
159
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
b
0
1,1
=
25
28
*
25
28
=
19
24
;
c
0
1,2
=
a
0
1,1
·
b
0
1,2
=
25
28
*
41
126
=
13
45
;
c
0
1,3
=
a
0
1,1
·
b
0
1,3
=
25
28
*
0
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,1
·
b
0
1,4
=
25
28
*
41
126
=
13
45
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
b
0
1,1
=
41
126
*
25
28
=
13
45
;
c
0
2,2
=
a
0
2,1
·
b
0
1,2
=
41
126
*
41
126
=
17
159
;
c
0
2,3
=
a
0
2,1
·
b
0
1,3
=
41
126
*
0
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,1
·
b
0
1,4
=
41
126
*
41
126
=
17
159
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
b
0
1,1
=
0
*
25
28
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,1
·
b
0
1,2
=
0
*
41
126
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,1
·
b
0
1,3
=
0
*
0
=
0
;
c
0
3,4
=
a
0
3,1
·
b
0
1,4
=
0
*
41
126
=
0
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
b
0
1,1
=
41
126
*
25
28
=
13
45
;
c
0
4,2
=
a
0
4,1
·
b
0
1,2
=
41
126
*
41
126
=
17
159
;
c
0
4,3
=
a
0
4,1
·
b
0
1,3
=
41
126
*
0
=
0
;
c
0
4,4
=
a
0
4,1
·
b
0
1,4
=
41
126
*
41
126
=
17
159
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
19
24
13
45
0
13
45
13
45
17
159
0
17
159
0
0
0
0
13
45
17
159
0
17
159
=
=
19
24
13
45
0
13
45
13
45
17
159
0
17
159
0
0
0
0
13
45
17
159
0
17
159
·
2
=
19
24
*
2
13
45
*
2
0
*
2
13
45
*
2
13
45
*
2
17
159
*
2
0
*
2
17
159
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
13
45
*
2
17
159
*
2
0
*
2
17
159
*
2
=
1
41
71
69
119
0
69
119
69
119
45
212
0
45
212
0
0
0
0
69
119
45
212
0
45
212
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
k
=
19
24
*
2
=
1
41
71
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
·
k
=
13
45
*
2
=
69
119
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
·
k
=
13
45
*
2
=
69
119
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
k
=
13
45
*
2
=
69
119
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
·
k
=
17
159
*
2
=
45
212
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
·
k
=
17
159
*
2
=
45
212
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,4
=
a
0
3,4
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
k
=
13
45
*
2
=
69
119
;
c
0
4,2
=
a
0
4,2
·
k
=
17
159
*
2
=
45
212
;
c
0
4,3
=
a
0
4,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
4,4
=
a
0
4,4
·
k
=
17
159
*
2
=
45
212
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−
1
41
71
69
119
0
69
119
69
119
45
212
0
45
212
0
0
0
0
69
119
45
212
0
45
212
=
1
-
1
41
71
0
-
69
119
0
-
0
0
-
69
119
0
-
69
119
1
-
45
212
0
-
0
0
-
45
212
0
-
0
0
-
0
1
-
0
0
-
0
0
-
69
119
0
-
45
212
0
-
0
1
-
45
212
=
-
41
71
-
69
119
0
-
69
119
-
69
119
86
109
0
-
45
212
0
0
1
0
-
69
119
-
45
212
0
86
109
c
0
1,1
=
a
0
1,1
−
b
0
1,1
=
1
-
1
41
71
=
-
41
71
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
−
b
0
1,2
=
0
-
69
119
=
-
69
119
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
−
b
0
1,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
−
b
0
1,4
=
0
-
69
119
=
-
69
119
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
−
b
0
2,1
=
0
-
69
119
=
-
69
119
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
−
b
0
2,2
=
1
-
45
212
=
86
109
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
−
b
0
2,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
−
b
0
2,4
=
0
-
45
212
=
-
45
212
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
−
b
0
3,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
−
b
0
3,2
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
−
b
0
3,3
=
1
-
0
=
1
;
c
0
3,4
=
a
0
3,4
−
b
0
3,4
=
0
-
0
=
0
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
−
b
0
4,1
=
0
-
69
119
=
-
69
119
;
c
0
4,2
=
a
0
4,2
−
b
0
4,2
=
0
-
45
212
=
-
45
212
;
c
0
4,3
=
a
0
4,3
−
b
0
4,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
4,4
=
a
0
4,4
−
b
0
4,4
=
1
-
45
212
=
86
109
;
Hide description
16 elements
Apply the Householder transformation to the matrix
A'
0
1
:
A'
0
1
=
H
0
1
·
A'
0
0
=
-
41
71
-
69
119
0
-
69
119
-
69
119
86
109
0
-
45
212
0
0
1
0
-
69
119
-
45
212
0
86
109
·
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
=
-1
74
101
0
0
0
-
69
119
86
109
1
-
45
212
-1
39
251
-
15
19
1
27
127
-1
74
479
59
102
0
59
102
a'
0
1
0
1,1
=
h
0
1
0
1,1
·
a'
0
0
0
1,1
+
h
0
1
0
1,2
·
a'
0
0
0
2,1
+
h
0
1
0
1,3
·
a'
0
0
0
3,1
+
h
0
1
0
1,4
·
a'
0
0
0
4,1
=
-
41
71
*
1
+
-
69
119
*
1
+
0
*
0
+
-
69
119
*
1
=
-1
74
101
;
a'
0
1
0
1,2
=
h
0
1
0
1,1
·
a'
0
0
0
1,2
+
h
0
1
0
1,2
·
a'
0
0
0
2,2
+
h
0
1
0
1,3
·
a'
0
0
0
3,2
+
h
0
1
0
1,4
·
a'
0
0
0
4,2
=
-
41
71
*
0
+
-
69
119
*
1
+
0
*
1
+
-
69
119
*
0
=
-
69
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;
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0
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a'
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a'
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=
-
41
71
*
1
+
-
69
119
*
0
+
0
*
1
+
-
69
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*
1
=
-1
39
251
;
a'
0
1
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=
h
0
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0
1,1
·
a'
0
0
0
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h
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0
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·
a'
0
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0
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+
h
0
1
0
1,3
·
a'
0
0
0
3,4
+
h
0
1
0
1,4
·
a'
0
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0
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=
-
41
71
*
0
+
-
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119
*
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0
*
0
+
-
69
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*
1
=
-1
74
479
;
a'
0
1
0
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=
h
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1
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a'
0
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0
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h
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a'
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h
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1
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·
a'
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+
h
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1
0
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·
a'
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0
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=
-
69
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*
1
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109
*
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*
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a'
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h
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0
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h
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a'
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a'
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=
-
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*
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+
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*
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*
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-
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*
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=
86
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;
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a'
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a'
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h
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1
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a'
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0
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·
a'
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-
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*
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+
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109
*
0
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0
*
1
+
-
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*
1
=
-
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19
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*
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*
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*
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-
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*
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=
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;
a'
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h
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h
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a'
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h
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1
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a'
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h
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a'
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*
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h
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a'
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h
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a'
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0
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h
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1
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a'
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0
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h
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1
0
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a'
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=
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*
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0
*
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*
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=
0
;
a'
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=
h
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a'
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h
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·
a'
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h
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1
0
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·
a'
0
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h
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0
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a'
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=
-
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*
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-
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109
*
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=
0
;
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=
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h
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a'
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0
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h
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a'
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0
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·
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4,2
=
-
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119
*
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+
-
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212
*
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+
0
*
1
+
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109
*
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=
-
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212
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a'
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0
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h
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1
0
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·
a'
0
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0
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·
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0
4,3
=
-
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119
*
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+
-
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212
*
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*
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109
*
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=
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Hide description
16 elements
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-
69
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45
212
0
86
109
=
-
41
71
-
69
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0
-
69
119
-
69
119
86
109
0
-
45
212
0
0
1
0
-
69
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-
45
212
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*
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-
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*
-
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-
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*
-
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-
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q
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0
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h
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1
0
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q
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h
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q
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=
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*
-
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*
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=
-
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h
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·
h
0
1
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+
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·
h
0
1
0
3,1
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q
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0
0
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·
h
0
1
0
4,1
=
0
*
-
41
71
+
0
*
-
69
119
+
1
*
0
+
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*
-
69
119
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;
q
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q
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h
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0
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q
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0
0
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·
h
0
1
0
2,2
+
q
0
0
0
3,3
·
h
0
1
0
3,2
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q
0
0
0
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·
h
0
1
0
4,2
=
0
*
-
69
119
+
0
*
86
109
+
1
*
0
+
0
*
-
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=
0
;
q
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1
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q
0
0
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h
0
1
0
1,3
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q
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h
0
1
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h
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1
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h
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1
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4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
1
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1
+
0
*
0
=
1
;
q
0
1
0
3,4
=
q
0
0
0
3,1
·
h
0
1
0
1,4
+
q
0
0
0
3,2
·
h
0
1
0
2,4
+
q
0
0
0
3,3
·
h
0
1
0
3,4
+
q
0
0
0
3,4
·
h
0
1
0
4,4
=
0
*
-
69
119
+
0
*
-
45
212
+
1
*
0
+
0
*
86
109
=
0
;
q
0
1
0
4,1
=
q
0
0
0
4,1
·
h
0
1
0
1,1
+
q
0
0
0
4,2
·
h
0
1
0
2,1
+
q
0
0
0
4,3
·
h
0
1
0
3,1
+
q
0
0
0
4,4
·
h
0
1
0
4,1
=
0
*
-
41
71
+
0
*
-
69
119
+
0
*
0
+
1
*
-
69
119
=
-
69
119
;
q
0
1
0
4,2
=
q
0
0
0
4,1
·
h
0
1
0
1,2
+
q
0
0
0
4,2
·
h
0
1
0
2,2
+
q
0
0
0
4,3
·
h
0
1
0
3,2
+
q
0
0
0
4,4
·
h
0
1
0
4,2
=
0
*
-
69
119
+
0
*
86
109
+
0
*
0
+
1
*
-
45
212
=
-
45
212
;
q
0
1
0
4,3
=
q
0
0
0
4,1
·
h
0
1
0
1,3
+
q
0
0
0
4,2
·
h
0
1
0
2,3
+
q
0
0
0
4,3
·
h
0
1
0
3,3
+
q
0
0
0
4,4
·
h
0
1
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
0
+
0
*
1
+
1
*
0
=
0
;
q
0
1
0
4,4
=
q
0
0
0
4,1
·
h
0
1
0
1,4
+
q
0
0
0
4,2
·
h
0
1
0
2,4
+
q
0
0
0
4,3
·
h
0
1
0
3,4
+
q
0
0
0
4,4
·
h
0
1
0
4,4
=
0
*
-
69
119
+
0
*
-
45
212
+
0
*
0
+
1
*
86
109
=
86
109
;
Hide description
16 elements
3
Iteration 2
The vector
a
is equal to the
2
-th column of the matrix
A'
0
1
:
a
=
0
86
109
1
-
45
212
Compute the norm
a
of the column
a
:
a
=
1
62
213
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
+
v
0
2
3
+
v
0
2
4
=
=
0
2
0
+
86
109
2
0
+
1
2
0
+
-
45
212
2
0
=
=
0
+
33
53
+
1
+
23
512
=
1
2
3
=
1
62
213
;
Hide description
Define the sign(
s
) of column
a
:
s
= -
sgn
(
a
[
2
])
= -
sgn
-(
86
109
) = -(
1
) =
-1
;
Write the
2
-th standard basis vector:
e
0
2
=
0
1
0
0
Calculate the Householder reflection vector
:
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
2
=
0
86
109
1
-
45
212
-
-1
*
1
62
213
*
0
1
0
0
=
0
86
109
1
-
45
212
-
0
-1
62
213
0
0
=
0
2
70
869
1
-
45
212
;
Normalize the Householder reflection vector
:
v_norm
=
v
v
=
0
62
69
28
65
-
99
1084
Calculate the Householder reflection vector
:
H
0
2
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
0
62
69
28
65
-
99
1084
*
0
62
69
28
65
-
99
1084
=
=
0
62
69
28
65
-
99
1084
·
0
62
69
28
65
-
99
1084
=
0
0
0
0
0
17
21
43
111
-
23
278
0
43
111
59
313
-
63
1586
0
-
23
278
-
63
1586
7
832
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
b
0
1,1
=
0
*
0
=
0
;
c
0
1,2
=
a
0
1,1
·
b
0
1,2
=
0
*
62
69
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,1
·
b
0
1,3
=
0
*
28
65
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,1
·
b
0
1,4
=
0
*
-
99
1084
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
b
0
1,1
=
62
69
*
0
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,1
·
b
0
1,2
=
62
69
*
62
69
=
17
21
;
c
0
2,3
=
a
0
2,1
·
b
0
1,3
=
62
69
*
28
65
=
43
111
;
c
0
2,4
=
a
0
2,1
·
b
0
1,4
=
62
69
*
-
99
1084
=
-
23
278
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
b
0
1,1
=
28
65
*
0
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,1
·
b
0
1,2
=
28
65
*
62
69
=
43
111
;
c
0
3,3
=
a
0
3,1
·
b
0
1,3
=
28
65
*
28
65
=
59
313
;
c
0
3,4
=
a
0
3,1
·
b
0
1,4
=
28
65
*
-
99
1084
=
-
63
1586
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
b
0
1,1
=
-
99
1084
*
0
=
0
;
c
0
4,2
=
a
0
4,1
·
b
0
1,2
=
-
99
1084
*
62
69
=
-
23
278
;
c
0
4,3
=
a
0
4,1
·
b
0
1,3
=
-
99
1084
*
28
65
=
-
63
1586
;
c
0
4,4
=
a
0
4,1
·
b
0
1,4
=
-
99
1084
*
-
99
1084
=
7
832
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
0
0
0
0
0
17
21
43
111
-
23
278
0
43
111
59
313
-
63
1586
0
-
23
278
-
63
1586
7
832
=
=
0
0
0
0
0
17
21
43
111
-
23
278
0
43
111
59
313
-
63
1586
0
-
23
278
-
63
1586
7
832
·
2
=
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
17
21
*
2
43
111
*
2
-
23
278
*
2
0
*
2
43
111
*
2
59
313
*
2
-
63
1586
*
2
0
*
2
-
23
278
*
2
-
63
1586
*
2
7
832
*
2
=
0
0
0
0
0
1
11
18
79
102
-
58
351
0
79
102
34
91
-
25
316
0
-
58
351
-
25
316
7
416
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
·
k
=
17
21
*
2
=
1
11
18
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
·
k
=
43
111
*
2
=
79
102
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
·
k
=
-
23
278
*
2
=
-
58
351
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
·
k
=
43
111
*
2
=
79
102
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
·
k
=
59
313
*
2
=
34
91
;
c
0
3,4
=
a
0
3,4
·
k
=
-
63
1586
*
2
=
-
25
316
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
4,2
=
a
0
4,2
·
k
=
-
23
278
*
2
=
-
58
351
;
c
0
4,3
=
a
0
4,3
·
k
=
-
63
1586
*
2
=
-
25
316
;
c
0
4,4
=
a
0
4,4
·
k
=
7
832
*
2
=
7
416
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−
0
0
0
0
0
1
11
18
79
102
-
58
351
0
79
102
34
91
-
25
316
0
-
58
351
-
25
316
7
416
=
1
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
1
-
1
11
18
0
-
79
102
0
-
-
58
351
0
-
0
0
-
79
102
1
-
34
91
0
-
-
25
316
0
-
0
0
-
-
58
351
0
-
-
25
316
1
-
7
416
=
1
0
0
0
0
-
11
18
-
79
102
58
351
0
-
79
102
74
117
25
316
0
58
351
25
316
71
72
c
0
1,1
=
a
0
1,1
−
b
0
1,1
=
1
-
0
=
1
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
−
b
0
1,2
=
0
-
0
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
−
b
0
1,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
−
b
0
1,4
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
−
b
0
2,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
−
b
0
2,2
=
1
-
1
11
18
=
-
11
18
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
−
b
0
2,3
=
0
-
79
102
=
-
79
102
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
−
b
0
2,4
=
0
-
-
58
351
=
58
351
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
−
b
0
3,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
−
b
0
3,2
=
0
-
79
102
=
-
79
102
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
−
b
0
3,3
=
1
-
34
91
=
74
117
;
c
0
3,4
=
a
0
3,4
−
b
0
3,4
=
0
-
-
25
316
=
25
316
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
−
b
0
4,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
4,2
=
a
0
4,2
−
b
0
4,2
=
0
-
-
58
351
=
58
351
;
c
0
4,3
=
a
0
4,3
−
b
0
4,3
=
0
-
-
25
316
=
25
316
;
c
0
4,4
=
a
0
4,4
−
b
0
4,4
=
1
-
7
416
=
71
72
;
Hide description
16 elements
Apply the Householder transformation to the matrix
A'
0
2
:
A'
0
2
=
H
0
2
·
A'
0
1
=
1
0
0
0
0
-
11
18
-
79
102
58
351
0
-
79
102
74
117
25
316
0
58
351
25
316
71
72
·
-1
74
101
0
0
0
-
69
119
86
109
1
-
45
212
-1
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0
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-
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0
0
-1
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251
-
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143
1
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41
258
-1
74
479
-
63
244
-
2
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57
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a'
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·
a'
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·
a'
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*
-1
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*
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+
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+
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*
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-1
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=
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a'
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h
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0
1,2
·
a'
0
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+
h
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0
1,3
·
a'
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h
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·
a'
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=
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*
-
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*
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109
+
0
*
1
+
0
*
-
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=
-
69
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;
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2
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=
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0
1,1
·
a'
0
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0
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h
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0
1,2
·
a'
0
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+
h
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0
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·
a'
0
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h
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·
a'
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*
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*
-
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*
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=
-1
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=
h
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·
a'
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h
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·
a'
0
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h
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0
1,3
·
a'
0
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a'
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=
-1
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=
h
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·
a'
0
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0
1,1
+
h
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·
a'
0
1
0
2,1
+
h
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·
a'
0
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+
h
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0
2,4
·
a'
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0
*
-1
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+
-
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·
a'
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h
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·
a'
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·
a'
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*
-
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-
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18
*
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a'
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*
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h
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;
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-
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·
a'
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h
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·
a'
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*
-1
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·
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*
-
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·
a'
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*
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*
-
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19
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Hide description
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=
-
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-
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*
0
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-
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*
-
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-
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-
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0
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-
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·
h
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0
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-
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*
0
+
-
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*
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351
+
0
*
25
316
+
-
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119
*
71
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=
-
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;
q
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2
0
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q
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1
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h
0
2
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·
h
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2
0
2,1
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q
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1
0
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·
h
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2
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q
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1
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=
-
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=
-
69
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q
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=
q
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1
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·
h
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q
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1
0
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·
h
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2
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1
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·
h
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+
q
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1
0
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h
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2
0
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=
-
69
119
*
0
+
86
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*
-
11
18
+
0
*
-
79
102
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-
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q
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2
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q
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h
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2
0
2,3
+
q
0
1
0
2,3
·
h
0
2
0
3,3
+
q
0
1
0
2,4
·
h
0
2
0
4,3
=
-
69
119
*
0
+
86
109
*
-
79
102
+
0
*
74
117
+
-
45
212
*
25
316
=
-
22
35
;
q
0
2
0
2,4
=
q
0
1
0
2,1
·
h
0
2
0
1,4
+
q
0
1
0
2,2
·
h
0
2
0
2,4
+
q
0
1
0
2,3
·
h
0
2
0
3,4
+
q
0
1
0
2,4
·
h
0
2
0
4,4
=
-
69
119
*
0
+
86
109
*
58
351
+
0
*
25
316
+
-
45
212
*
71
72
=
-
10
127
;
q
0
2
0
3,1
=
q
0
1
0
3,1
·
h
0
2
0
1,1
+
q
0
1
0
3,2
·
h
0
2
0
2,1
+
q
0
1
0
3,3
·
h
0
2
0
3,1
+
q
0
1
0
3,4
·
h
0
2
0
4,1
=
0
*
1
+
0
*
0
+
1
*
0
+
0
*
0
=
0
;
q
0
2
0
3,2
=
q
0
1
0
3,1
·
h
0
2
0
1,2
+
q
0
1
0
3,2
·
h
0
2
0
2,2
+
q
0
1
0
3,3
·
h
0
2
0
3,2
+
q
0
1
0
3,4
·
h
0
2
0
4,2
=
0
*
0
+
0
*
-
11
18
+
1
*
-
79
102
+
0
*
58
351
=
-
79
102
;
q
0
2
0
3,3
=
q
0
1
0
3,1
·
h
0
2
0
1,3
+
q
0
1
0
3,2
·
h
0
2
0
2,3
+
q
0
1
0
3,3
·
h
0
2
0
3,3
+
q
0
1
0
3,4
·
h
0
2
0
4,3
=
0
*
0
+
0
*
-
79
102
+
1
*
74
117
+
0
*
25
316
=
74
117
;
q
0
2
0
3,4
=
q
0
1
0
3,1
·
h
0
2
0
1,4
+
q
0
1
0
3,2
·
h
0
2
0
2,4
+
q
0
1
0
3,3
·
h
0
2
0
3,4
+
q
0
1
0
3,4
·
h
0
2
0
4,4
=
0
*
0
+
0
*
58
351
+
1
*
25
316
+
0
*
71
72
=
25
316
;
q
0
2
0
4,1
=
q
0
1
0
4,1
·
h
0
2
0
1,1
+
q
0
1
0
4,2
·
h
0
2
0
2,1
+
q
0
1
0
4,3
·
h
0
2
0
3,1
+
q
0
1
0
4,4
·
h
0
2
0
4,1
=
-
69
119
*
1
+
-
45
212
*
0
+
0
*
0
+
86
109
*
0
=
-
69
119
;
q
0
2
0
4,2
=
q
0
1
0
4,1
·
h
0
2
0
1,2
+
q
0
1
0
4,2
·
h
0
2
0
2,2
+
q
0
1
0
4,3
·
h
0
2
0
3,2
+
q
0
1
0
4,4
·
h
0
2
0
4,2
=
-
69
119
*
0
+
-
45
212
*
-
11
18
+
0
*
-
79
102
+
86
109
*
58
351
=
97
375
;
q
0
2
0
4,3
=
q
0
1
0
4,1
·
h
0
2
0
1,3
+
q
0
1
0
4,2
·
h
0
2
0
2,3
+
q
0
1
0
4,3
·
h
0
2
0
3,3
+
q
0
1
0
4,4
·
h
0
2
0
4,3
=
-
69
119
*
0
+
-
45
212
*
-
79
102
+
0
*
74
117
+
86
109
*
25
316
=
7
31
;
q
0
2
0
4,4
=
q
0
1
0
4,1
·
h
0
2
0
1,4
+
q
0
1
0
4,2
·
h
0
2
0
2,4
+
q
0
1
0
4,3
·
h
0
2
0
3,4
+
q
0
1
0
4,4
·
h
0
2
0
4,4
=
-
69
119
*
0
+
-
45
212
*
58
351
+
0
*
25
316
+
86
109
*
71
72
=
29
39
;
Hide description
16 elements
4
Iteration 3
The vector
a
is equal to the
3
-th column of the matrix
A'
0
2
:
a
=
0
0
1
87
341
41
258
Compute the norm
a
of the column
a
:
a
=
1
29
108
;
v
0
=
v
0
2
1
+
v
0
2
2
+
v
0
2
3
+
v
0
2
4
=
=
0
2
0
+
0
2
0
+
1
87
341
2
0
+
41
258
2
0
=
=
0
+
0
+
1
93
161
+
26
1039
=
1
3
5
=
1
29
108
;
Hide description
Define the sign(
s
) of column
a
:
s
= -
sgn
(
a
[
3
])
= -
sgn
-(
1
87
341
) = -(
1
) =
-1
;
Write the
3
-th standard basis vector:
e
0
3
=
0
0
1
0
Calculate the Householder reflection vector
:
v
=
a
-
s
*
a
*
e
0
3
=
0
0
1
87
341
41
258
-
-1
*
1
29
108
*
0
0
1
0
=
0
0
1
87
341
41
258
-
0
0
-1
29
108
0
=
0
0
2
69
133
41
258
;
Normalize the Householder reflection vector
:
v_norm
=
v
v
=
0
0
1
55
874
Calculate the Householder reflection vector
:
H
0
3
=
I
- 2 *
v_norm
*
v_norm
T
0
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
0
0
1
55
874
*
0
0
1
55
874
=
=
0
0
1
55
874
·
0
0
1
55
874
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
49
786
0
0
49
786
20
5139
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
b
0
1,1
=
0
*
0
=
0
;
c
0
1,2
=
a
0
1,1
·
b
0
1,2
=
0
*
0
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,1
·
b
0
1,3
=
0
*
1
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,1
·
b
0
1,4
=
0
*
55
874
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
b
0
1,1
=
0
*
0
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,1
·
b
0
1,2
=
0
*
0
=
0
;
c
0
2,3
=
a
0
2,1
·
b
0
1,3
=
0
*
1
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,1
·
b
0
1,4
=
0
*
55
874
=
0
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
b
0
1,1
=
1
*
0
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,1
·
b
0
1,2
=
1
*
0
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,1
·
b
0
1,3
=
1
*
1
=
1
;
c
0
3,4
=
a
0
3,1
·
b
0
1,4
=
1
*
55
874
=
49
786
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
b
0
1,1
=
55
874
*
0
=
0
;
c
0
4,2
=
a
0
4,1
·
b
0
1,2
=
55
874
*
0
=
0
;
c
0
4,3
=
a
0
4,1
·
b
0
1,3
=
55
874
*
1
=
49
786
;
c
0
4,4
=
a
0
4,1
·
b
0
1,4
=
55
874
*
55
874
=
20
5139
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
- 2 *
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
49
786
0
0
49
786
20
5139
=
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
49
786
0
0
49
786
20
5139
·
2
=
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
0
*
2
1
*
2
49
786
*
2
0
*
2
0
*
2
49
786
*
2
20
5139
*
2
=
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
55
437
0
0
55
437
60
7649
c
0
1,1
=
a
0
1,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
·
k
=
1
*
2
=
2
;
c
0
3,4
=
a
0
3,4
·
k
=
49
786
*
2
=
55
437
;
c
0
4,1
=
a
0
4,1
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
4,2
=
a
0
4,2
·
k
=
0
*
2
=
0
;
c
0
4,3
=
a
0
4,3
·
k
=
49
786
*
2
=
55
437
;
c
0
4,4
=
a
0
4,4
·
k
=
20
5139
*
2
=
60
7649
;
Hide description
16 elements
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
−
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
55
437
0
0
55
437
60
7649
=
1
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
1
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
0
-
0
1
-
2
0
-
55
437
0
-
0
0
-
0
0
-
55
437
1
-
60
7649
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-1
-
55
437
0
0
-
55
437
1
c
0
1,1
=
a
0
1,1
−
b
0
1,1
=
1
-
0
=
1
;
c
0
1,2
=
a
0
1,2
−
b
0
1,2
=
0
-
0
=
0
;
c
0
1,3
=
a
0
1,3
−
b
0
1,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
1,4
=
a
0
1,4
−
b
0
1,4
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,1
=
a
0
2,1
−
b
0
2,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,2
=
a
0
2,2
−
b
0
2,2
=
1
-
0
=
1
;
c
0
2,3
=
a
0
2,3
−
b
0
2,3
=
0
-
0
=
0
;
c
0
2,4
=
a
0
2,4
−
b
0
2,4
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,1
=
a
0
3,1
−
b
0
3,1
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,2
=
a
0
3,2
−
b
0
3,2
=
0
-
0
=
0
;
c
0
3,3
=
a
0
3,3
−
b
0
3,3
=
1
-
2
=
-1
;
c
0
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-
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=
0
-
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=
0
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=
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=
0
-
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=
0
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c
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=
a
0
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b
0
4,3
=
0
-
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437
=
-
55
437
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c
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a
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b
0
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1
-
60
7649
=
1
;
Hide description
16 elements
Apply the Householder transformation to the matrix
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A'
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-
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-
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-
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5
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86
=
-1
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101
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0
-
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119
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244
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0
-1
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251
-
37
143
-1
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252
0
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-
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*
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0
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h
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0
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a'
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*
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*
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-
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*
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*
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-1
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*
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*
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*
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a'
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a'
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*
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1
*
-
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*
-
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+
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*
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-
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a'
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h
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a'
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=
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*
-1
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*
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+
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*
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-
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=
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*
-
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=
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*
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*
-
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-1
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-
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-1
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*
-1
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*
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-1
*
-
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-
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h
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a'
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0
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h
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·
a'
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h
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a'
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=
0
*
-1
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0
*
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-
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1
*
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=
0
;
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*
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-
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a'
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a'
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*
-1
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*
-
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+
-
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a'
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a'
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=
0
*
-1
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0
*
-
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-
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437
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-
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5
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1
*
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86
=
53
74
;
Hide description
16 elements
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3
:
Q
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Q
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H
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-
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-
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2
5
-
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35
74
117
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-
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92
-
10
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·
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0
1
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-
55
437
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=
-
41
71
-
69
119
0
-
69
119
15
58
-
31
60
-
79
102
97
375
-
82
259
29
46
-
19
30
-
83
261
-
99
140
0
0
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=
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h
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h
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0
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=
-
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71
*
1
+
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*
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2
5
*
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-
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*
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=
-
41
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;
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=
q
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h
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h
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h
0
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0
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=
-
41
71
*
0
+
15
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*
1
+
2
5
*
0
+
-
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92
*
0
=
15
58
;
q
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=
q
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0
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·
h
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0
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q
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2
0
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h
0
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+
q
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0
1,3
·
h
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0
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q
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2
0
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·
h
0
3
0
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=
-
41
71
*
0
+
15
58
*
0
+
2
5
*
-1
+
-
61
92
*
-
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437
=
-
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;
q
0
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=
q
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0
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h
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0
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0
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h
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q
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·
h
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q
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2
0
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·
h
0
3
0
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=
-
41
71
*
0
+
15
58
*
0
+
2
5
*
-
55
437
+
-
61
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*
1
=
-
99
140
;
q
0
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=
q
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2
0
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·
h
0
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q
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0
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·
h
0
3
0
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q
0
2
0
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·
h
0
3
0
3,1
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q
0
2
0
2,4
·
h
0
3
0
4,1
=
-
69
119
*
1
+
-
31
60
*
0
+
-
22
35
*
0
+
-
10
127
*
0
=
-
69
119
;
q
0
3
0
2,2
=
q
0
2
0
2,1
·
h
0
3
0
1,2
+
q
0
2
0
2,2
·
h
0
3
0
2,2
+
q
0
2
0
2,3
·
h
0
3
0
3,2
+
q
0
2
0
2,4
·
h
0
3
0
4,2
=
-
69
119
*
0
+
-
31
60
*
1
+
-
22
35
*
0
+
-
10
127
*
0
=
-
31
60
;
q
0
3
0
2,3
=
q
0
2
0
2,1
·
h
0
3
0
1,3
+
q
0
2
0
2,2
·
h
0
3
0
2,3
+
q
0
2
0
2,3
·
h
0
3
0
3,3
+
q
0
2
0
2,4
·
h
0
3
0
4,3
=
-
69
119
*
0
+
-
31
60
*
0
+
-
22
35
*
-1
+
-
10
127
*
-
55
437
=
29
46
;
q
0
3
0
2,4
=
q
0
2
0
2,1
·
h
0
3
0
1,4
+
q
0
2
0
2,2
·
h
0
3
0
2,4
+
q
0
2
0
2,3
·
h
0
3
0
3,4
+
q
0
2
0
2,4
·
h
0
3
0
4,4
=
-
69
119
*
0
+
-
31
60
*
0
+
-
22
35
*
-
55
437
+
-
10
127
*
1
=
0
;
q
0
3
0
3,1
=
q
0
2
0
3,1
·
h
0
3
0
1,1
+
q
0
2
0
3,2
·
h
0
3
0
2,1
+
q
0
2
0
3,3
·
h
0
3
0
3,1
+
q
0
2
0
3,4
·
h
0
3
0
4,1
=
0
*
1
+
-
79
102
*
0
+
74
117
*
0
+
25
316
*
0
=
0
;
q
0
3
0
3,2
=
q
0
2
0
3,1
·