숫자 형식
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i
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3131313131351515151515≈83137
행렬 고유값 계산기 정보
무료 온라인 행렬 고유값 계산기입니다. 는 십진수, 분수, 복소수, 변수와 같은 유형의 행렬 요소를 사용하여 최대 99x99 크기의 행렬로 연산을 수행하는 완전하고 상세한 단계별 솔루션 설명과 함께 무료 온라인 행렬 계산기입니다.
계산을 시작하려면 먼저 화면 맨 위에서 찾을 수 있는 입력 필드에 행렬의 크기를 입력하고 원하는 계산 방법을 선택해야 합니다.
조금 아래로 내려가면 키보드를 사용하여 행렬 요소를 입력해야 하는 행렬 창을 찾을 수 있습니다. 행렬 제어판도 여기에 있으며 행렬 작업을 단순화하고 다음과 같은 제어 요소를 포함합니다.
- 첫 번째 요소를 사용하면 행렬 창을 확장할 수 있습니다. 이 기능은 특히 완전히 맞지 않는 매우 큰 행렬로 계산을 수행해야 하는 경우에 유용할 수 있습니다. 창을 확장한 후에도 행렬이 보이지 않으면 + / - 버튼을 사용하여 행렬의 크기를 변경할 수 있습니다.
- 두 번째 요소는 행렬 입력을 메모리 버퍼에 복사하는 기능을 수행합니다. 이 기능은 계산에 동일한 행렬을 자주 사용하거나 작업 간에 행렬을 이동해야 하는 경우에 유용할 수 있습니다.
- 마지막 요소는 이전에 복사한 행렬을 삽입하여 수동으로 수행하는 대신 몇 번의 클릭만으로 행렬 입력 프로세스를 가속화할 수 있습니다.
아래로 더 내려가면 계산기를 사용자 지정하고 작업을 더 쉽게 할 수 있는 도구 모음을 찾을 수 있습니다. 시각적으로 세 부분으로 나뉘며 각 부분은 다음 기능을 담당합니다.
- 첫 번째는 솔루션 결과가 표시될 때 숫자 형식을 선택할 수 있습니다. 또한 이 문제의 해결 방법을 이미 알고 있고 계산기를 사용하여 자신의 계산을 빠르게 하거나 확인하는 경우 문제 해결에 대한 설명을 끌 수 있습니다. 또는 솔루션의 결과만 필요한 경우 단계별 솔루션을 완전히 끌 수 있습니다.
- 두 번째는 행렬 입력 필드의 유형을 변경하고, 요소 또는 전체 행렬을 지우는 버튼과 문제 해결 화면으로 이동하는 등호가 있는 가장 큰 버튼을 포함합니다. 이 모든 버튼은 키보드의 키로 복제됩니다. 키보드에서 어떤 키를 눌러야 하는지 알아보려면 버튼 중 하나를 가리키면 키 이름이 포함된 툴팁이 나타납니다. 키보드의 화살표 키를 사용하여 행렬 입력 필드 사이를 이동할 수도 있습니다.
- 마지막으로 정수가 아닌 숫자를 반올림하기 위해 소수점 이하 자릿수를 선택할 수 있습니다. 또한 여기에서 반올림된 분수가 어떻게 보이는지 즉시 볼 수 있습니다.
행렬의 고유값이란?
고유값의 정의는 고유벡터와 밀접하게 관련되어 있습니다. 고유벡터는 선형 변환에 의해 방향이 바뀌지 않고 상수 배수만큼 스케일링되는 벡터이며, 선형 변환 중 고유벡터가 스케일링되는 상수 배수는 고유값입니다.
행렬의 고유값을 찾는 방법은 무엇입니까?
먼저 주어진 행렬의 특성 방정식을 찾은 다음 이를 풀어야 합니다. 주어진 행렬의 특성 방정식의 근은 이 행렬의 고유값이기도 합니다. 고유값은 정사각 행렬에 대해서만 계산할 수 있습니다.
행렬의 고유값 찾기 예
초기 행렬
A
을 작성합니다.
A
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
행렬
A
의 고유값을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.
1)
행렬 A의 특성 방정식을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다. 행렬 A의 주 대각선의 모든 요소에서 λ를 빼서 새 행렬(A - λI)을 형성합니다.
행렬 A - λI의 행렬식을 찾으십시오.
행렬 A - λI의 행렬식을 0으로 설정합니다.
2)
행렬 A의 특성 방정식을 풀어 줍니다.3)
행렬 A의 특성 방정식의 근은 고유값이기도 합니다.2
Form A − λ·IA - λI
행렬을 형성합니다:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
4
8
8
5
5
5
5
8
5
2
2
7
2
-
λ
*
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
이제 이 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다.
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
4
8
8
-
λ
5
5
5
5
8
-
λ
5
2
2
7
2
-
λ
=
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
4
특성 방정식행렬
A - λI
의 다음 행렬식을 찾았습니다:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
;
이 행렬식을 0으로 설정하고 행렬
A
의 특성 방정식을 얻습니다:
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
이제 이 방정식을 풀 수 있으며 그 근은 행렬
A
의 고유값을 제공합니다.
5
특성 방정식의 해찾아야 할 근을 포함하는 초기 방정식을 작성하십시오.
λ
4
0
-89
λ
3
0
+
1230
λ
2
0
-1550
λ
-3648
= 0;
방정식을 통해 변수의 최대 차수는
4
임을 알 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 유형의 방정식이 있습니다.
aλ
4
0
+
bλ
3
0
+
cλ
2
0
+
dλ
+
e
= 0;
a
=
1
;
b
=
-89
;
c
=
1230
;
d
=
-1550
;
e
=
-3648
;
이 방정식을 풀기 위해 페라리 방법을 사용할 수 있습니다. 이 방법은 초기 방정식을 약화 4차 형태로 만드는 것을 포함합니다.
약화 4차 형태는 방정식에서
λ
3
0
을 제거한 다음 다음 형태를 갖는 것을 의미합니다:
t
4
0
+
pt
2
0
+
qt
+
r
= 0;
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
;
q
=
b
3
0
-
4
bc
+
8
d
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+
16
b
2
0
c
256
;
a
과
1
이 같지 않다면 방정식을 약화 4차 형태로 만들기 전에 방정식의 모든 계수를
a
로 나누고 이전에
a
과
b
의 값을 변수
aOrigin
와
bOrigin
에 저장해야 합니다. 왜냐하면 나중에 이 값들이 방정식을 풀기 위해 필요하기 때문입니다.
aOrigin
=
a
;
bOrigin
=
b
;
a
=
a
a
;
b
=
b
a
;
c
=
c
a
;
d
=
d
a
;
e
=
e
a
;
다음으로, 페라리 방법에 따라 약화 4차 형태 방정식에 동치인 다음 3차 방정식을 찾아야 합니다:
m
0
1
y
3
0
+
m
0
2
y
2
0
+
m
0
3
y
+
m
0
4
= 0;
m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
;
이제 생성된 3차 방정식을 카르다노 방법과 같은 방법으로 풀어야 합니다.
y
0
1
,
y
0
2
,
y
0
3
은 3차 방정식의 근입니다.
마지막으로 초기 방정식의 근
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
,
λ
0
4
을 찾을 수 있습니다:
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
;
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
이는
y
0
1
> 0
및
y
0
3
> 0
에 대한 일반적인 공식이며, 공식의 특수한 경우는 아래에 설명되어 있습니다.
6
공식의 특수 사례y
0
1
> 0
및
y
0
2
= 0
및
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
= 0;
R
= 0;
y
0
1
= 0
및
y
0
2
> 0
및
y
0
3
> 0:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
및
y
0
2
> 0
및
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
다음 경우 방정식은 비실수 복소수 켤레근을 갖습니다.
y
0
2
및
y
0
3
이 복소수이거나
y
0
2
< 0
및
y
0
3
< 0
인 경우:
P
=
y
0
2
;
Q
=
y
0
3
;
R
= -
q
8
PQ
;
y
0
1
> 0
및
y
0
2
< 0
및
y
0
3
= 0:
P
=
y
0
1
;
Q
=
y
0
2
;
R
= -
q
8
PQ
;
각 경우에 대해:
S
=
bOrigin
4
aOrigin
;
7
약화 4차 형태각 계수를 a로 나누십시오:
aOrigin
=
a
=
1
;
bOrigin
=
b
=
-89
;
a
=
a
a
=
1
1
=
1
;
b
=
b
a
=
-89
1
=
-89
;
c
=
c
a
=
1230
1
=
1230
;
d
=
d
a
=
-1550
1
=
-1550
;
e
=
e
a
=
-3648
1
=
-3648
;
이제 약화 4차 형태 방정식의 계수를 찾을 수 있습니다:
p
=
8
c
-
3
b
2
0
8
=
8 *
1230
- 3 *
-89
2
0
8
=
-1740
3
8
;
q
=
b
3
0
- 4
bc
+
8
d
8
=
-89
3
0
- 4 *
-89
*
1230
+ 8 *
-1550
8
=
-34936
1
8
;
r
=
-3
b
4
0
+ 256
e
- 64
bd
+ 16
b
2
0
c
256
=
-3 *
-89
4
0
+ 256 *
-3648
- 64 *
-89
*
-1550
+ 16 *
-89
2
0
*
1230
256
=
-164469
67
256
;
약화 4차 형태
:
t
4
0
-1740
3
8
t
2
0
-34936
1
8
t
-164469
67
256
= 0;
8
3차 방정식m
0
1
= 1;
m
0
2
=
p
2
=
-1740
3
8
2
=
-870
3
16
;
m
0
3
=
p
2
0
- 4
r
16
=
-1740
3
8
2
0
- 4 *
-164469
67
256
16
=
230423
57
64
;
m
0
4
= -
q
2
0
64
= -
-34936
1
8
2
0
64
=
-19070825
52
109
;
3차 방정식
:
y
3
0
-870
3
16
y
2
0
+
230423
57
64
y
-19070825
52
109
= 0;
카르다노 방법을 사용하여 이 방정식을 풀어보십시오:
y
0
1
=
457
51
52
;
y
0
2
=
177
63
382
;
y
0
3
=
235
16
367
;
9
근P
=
y
0
1
=
457
51
52
=
21
83
207
;
Q
=
y
0
3
=
235
16
367
=
15
79
239
;
R
= -
q
8
PQ
=
-34936
1
8
8 *
21
83
207
*
15
79
239
=
13
17
54
;
S
=
bOrigin
4
aOrigin
=
-89
4 *
1
=
-22
1
4
;
λ
0
1
=
P
+
Q
+
R
-
S
=
21
83
207
+
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
P
-
Q
-
R
-
S
=
21
83
207
-
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
15
29
3179
;
λ
0
3
= -
P
+
Q
-
R
-
S
= -
21
83
207
+
15
79
239
-
13
17
54
-
-22
1
4
=
2
97
111
;
λ
0
4
= -
P
-
Q
+
R
-
S
= -
21
83
207
-
15
79
239
+
13
17
54
-
-22
1
4
=
-1
71
414
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
56
191
;
λ
0
2
=
15
29
3179
;
λ
0
3
=
2
97
111
;
λ
0
4
=
-1
71
414
;
크기4×4