숫자 형식
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i
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3131313131351515151515≈83137
행렬 고유값 계산기 정보
무료 온라인 행렬 고유값 계산기입니다. 는 십진수, 분수, 복소수, 변수와 같은 유형의 행렬 요소를 사용하여 최대 20x20 크기의 행렬로 연산을 수행하는 완전하고 상세한 단계별 솔루션 설명과 함께 무료 온라인 행렬 계산기입니다.
계산을 시작하려면 먼저 화면 맨 위에서 찾을 수 있는 입력 필드에 행렬의 크기를 입력하고 원하는 계산 방법을 선택해야 합니다.
조금 아래로 내려가면 키보드를 사용하여 행렬 요소를 입력해야 하는 행렬 창을 찾을 수 있습니다. 행렬 제어판도 여기에 있으며 행렬 작업을 단순화하고 다음과 같은 제어 요소를 포함합니다.
- 첫 번째 요소를 사용하면 행렬 창을 확장할 수 있습니다. 이 기능은 특히 완전히 맞지 않는 매우 큰 행렬로 계산을 수행해야 하는 경우에 유용할 수 있습니다. 창을 확장한 후에도 행렬이 보이지 않으면 + / - 버튼을 사용하여 행렬의 크기를 변경할 수 있습니다.
- 두 번째 요소는 행렬 입력을 메모리 버퍼에 복사하는 기능을 수행합니다. 이 기능은 계산에 동일한 행렬을 자주 사용하거나 작업 간에 행렬을 이동해야 하는 경우에 유용할 수 있습니다.
- 마지막 요소는 이전에 복사한 행렬을 삽입하여 수동으로 수행하는 대신 몇 번의 클릭만으로 행렬 입력 프로세스를 가속화할 수 있습니다.
아래로 더 내려가면 계산기를 사용자 지정하고 작업을 더 쉽게 할 수 있는 도구 모음을 찾을 수 있습니다. 시각적으로 세 부분으로 나뉘며 각 부분은 다음 기능을 담당합니다.
- 첫 번째는 솔루션 결과가 표시될 때 숫자 형식을 선택할 수 있습니다. 또한 이 문제의 해결 방법을 이미 알고 있고 계산기를 사용하여 자신의 계산을 빠르게 하거나 확인하는 경우 문제 해결에 대한 설명을 끌 수 있습니다. 또는 솔루션의 결과만 필요한 경우 단계별 솔루션을 완전히 끌 수 있습니다.
- 두 번째는 행렬 입력 필드의 유형을 변경하고, 요소 또는 전체 행렬을 지우는 버튼과 문제 해결 화면으로 이동하는 등호가 있는 가장 큰 버튼을 포함합니다. 이 모든 버튼은 키보드의 키로 복제됩니다. 키보드에서 어떤 키를 눌러야 하는지 알아보려면 버튼 중 하나를 가리키면 키 이름이 포함된 툴팁이 나타납니다. 키보드의 화살표 키를 사용하여 행렬 입력 필드 사이를 이동할 수도 있습니다.
- 마지막으로 정수가 아닌 숫자를 반올림하기 위해 소수점 이하 자릿수를 선택할 수 있습니다. 또한 여기에서 반올림된 분수가 어떻게 보이는지 즉시 볼 수 있습니다.
행렬의 고유값이란?
고유값의 정의는 고유벡터와 밀접하게 관련되어 있습니다. 고유벡터는 선형 변환에 의해 방향이 바뀌지 않고 상수 배수만큼 스케일링되는 벡터이며, 선형 변환 중 고유벡터가 스케일링되는 상수 배수는 고유값입니다.
행렬의 고유값을 찾는 방법은 무엇입니까?
먼저 주어진 행렬의 특성 방정식을 찾은 다음 이를 풀어야 합니다. 주어진 행렬의 특성 방정식의 근은 이 행렬의 고유값이기도 합니다. 고유값은 정사각 행렬에 대해서만 계산할 수 있습니다.
행렬의 고유값 찾기 예
초기 행렬
A
을 작성합니다.
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
행렬
A
의 고유값을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.
1)
행렬 A의 특성 방정식을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다. 행렬 A의 주 대각선의 모든 요소에서 λ를 빼서 새 행렬(A - λI)을 형성합니다.
행렬 A - λI의 행렬식을 찾으십시오.
행렬 A - λI의 행렬식을 0으로 설정합니다.
2)
행렬 A의 특성 방정식을 풀어 줍니다.3)
행렬 A의 특성 방정식의 근은 고유값이기도 합니다.2
Form A − λ·IA - λI
행렬을 형성합니다:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
-
λ
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
이제 이 행렬의 행렬식을 찾아야 합니다.
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
=
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
4
특성 방정식행렬
A - λI
의 다음 행렬식을 찾았습니다:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
이 행렬식을 0으로 설정하고 행렬
A
의 특성 방정식을 얻습니다:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
이제 이 방정식을 풀 수 있으며 그 근은 행렬
A
의 고유값을 제공합니다.
5
특성 방정식의 해찾아야 할 근을 포함하는 초기 방정식을 작성하십시오.
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
방정식을 통해 변수의 최대 차수는
3
임을 알 수 있습니다. 즉, 다음과 같은 유형의 방정식이 있습니다.
aλ
3
0
+
bλ
2
0
+
cλ
+
d
= 0;
a
=
-1
;
b
=
87
;
c
=
-1109
;
d
=
2496
;
이 방정식을 풀기 위해서는 초기 방정식을 약화 3차 형태로 만드는 카르다노 방법을 사용할 수 있습니다.
약화 3차 형태는 방정식에서
λ
2
0
을 제거한 다음 다음 형태를 갖는 것을 의미합니다:
t
3
0
+
pt
+
q
= 0;
t
=
x
+
b
3
a
;
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abs
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
;
초기 방정식의 근
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
은 약화 방정식의 근
t
0
1
,
t
0
2
,
t
0
3
과 다음 관계식으로 관련됩니다:
λ
0
i
=
t
0
i
-
b
3
a
, for
i
= 1, 2, 3;
방정식의 근을 찾기 위해서는 먼저 약화 방정식의 판별식을 찾아야 합니다:
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
;
그 후, 세 가지 경우가 발생할 수 있습니다:
6
공식의 특수 사례1
경우,
D = 0
일 때
실근이 3개 있지만 두 번째와 세 번째 근은 같습니다.
t
0
1
=
3
q
p
;
t
0
2
=
t
0
3
= -
3
q
2
p
;
2
경우,
D > 0
일 때
실근은 1개이고, 비실수 복소수 켤레근은 2개입니다.
t
0
1
=
u
-
s
;
t
0
2
= -
u
-
s
2
+
3
2
(
u
+
s
)
i
;
t
0
3
= -
u
-
s
2
-
3
2
(
u
+
s
)
i
;
여기서:
u
=
3
-
q
2
-
D
;
s
=
p
3
u
;
3
경우,
D < 0
일 때
실근이 3개 있지만 이러한 근을 나타내는 공식에는 복소수가 포함되어 있습니다. 그럼에도 불구하고 해의 순수 실수 표현식은 삼각 함수를 사용하여 얻을 수 있습니다.
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
);
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
);
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
- 2
k
);
여기서:
u
=
2 *
-
p
3
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
);
k
=
2 *
π
3
;
7
약화 3차 형태p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
=
3 *
-1
*
-1
-
87
2
0
3 *
-1
2
0
=
-1414
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abc
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
=
2 *
87
3
0
- 9 *
-1
*
87
*
-1109
+ 27 *
-1
2
0
*
2496
27 *
-1
3
0
=
-19113
;
약화 3차 형태
:
t
3
0
-1414
t
-19113
= 0;
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
=
-19113
2
0
4
+
-1414
3
0
27
=
-13382416
79
100
;
8
근D < 0
이므로
3
경우가 해당됩니다.
실근이 3개 있지만 이러한 근을 나타내는 공식에는 복소수가 포함되어 있습니다. 그럼에도 불구하고 해의 순수 실수 표현식은 삼각 함수를 사용하여 얻을 수 있습니다.
u
=
2 *
-
p
3
= 2 *
-
-1414
3
=
43
21
50
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
) =
1
3
*
arccos
(
3 *
-19113
-1414
*
43
21
50
)
=
3
25
;
k
=
2 *
π
3
=
2 * 3.14
3
=
2
9
100
;
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
) =
43
1
10
;
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
-
2
9
100
) =
-16
49
50
;
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
-
2
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
- 2 *
2
9
100
) =
-26
3
25
;
λ
0
1
=
t
0
1
-
b
3
a
=
43
1
10
-
87
3 *
-1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
t
0
2
-
b
3
a
=
-16
49
50
-
87
3 *
-1
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
t
0
3
-
b
3
a
=
-26
3
25
-
87
3 *
-1
=
2
22
25
;
Answer
det(A − λ · I) = 0λ
0
1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
2
22
25
;
크기3×3