Máy tính hạng ma trận 2×2

  Ba giá trị hạng có thể của ma trận 2×2

Hạng của ma trận là số hàng độc lập tuyến tính, luôn bằng số cột độc lập tuyến tính. Ma trận 2×2 chỉ có ba khả năng.

Hạng 0: mọi phần tử đều bằng 0. Chỉ ma trận không có hạng 0.

Hạng 1: ma trận khác 0 nhưng một hàng là bội của hàng kia. Đây đúng là trường hợp định thức a·d − b·c bằng 0.

Hạng 2: định thức khác 0. Các hàng độc lập, ma trận khả nghịch và được gọi là có hạng đầy đủ.

Vì vậy với ma trận 2×2, một phép trừ là đủ: tính a·d − b·c. Nếu khác 0 thì hạng là 2. Nếu bằng 0 thì hạng là 1, trừ khi cả bốn phần tử đều bằng 0.

  Ví dụ giải chi tiết

Lấy ma trận có các hàng (2, 4) và (1, 2). Định thức là 2·2 − 4·1 = 0, nên hạng nhỏ hơn 2. Ma trận không phải ma trận không, nên hạng bằng 1. Biến đổi hàng cho thấy điều tương tự: lấy hàng 2 trừ 1/2 hàng 1 còn lại các hàng (2, 4) và (0, 0), chỉ một hàng khác 0.

Đổi một phần tử để được các hàng (2, 4) và (1, 3). Giờ định thức là 2·3 − 4·1 = 2, khác 0, nên hạng bằng 2. Lấy hàng 2 trừ 1/2 hàng 1 được (0, 1), và cả hai hàng đều khác 0.

  Hạng cho biết điều gì

Với hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn, ma trận hệ số có hạng 2 nghĩa là hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm. Hạng 1 nghĩa là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau, nên hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Xét như phép biến đổi mặt phẳng, ma trận hạng 2 ánh xạ mặt phẳng lên toàn bộ mặt phẳng, ma trận hạng 1 ép nó xuống một đường thẳng, còn ma trận không đưa mọi thứ về gốc tọa độ.

Máy tính ở trên được đặt sẵn cỡ 2×2 và hiển thị các phép biến đổi hàng nó dùng để đi đến đáp án.