Máy tính hạng ma trận 3×3

  Cách tìm hạng của ma trận 3×3

Hạng của ma trận 3×3 là 0, 1, 2 hoặc 3. Cách đáng tin cậy nhất để tìm là biến đổi hàng: dùng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đếm số hàng khác 0. Biến đổi hàng không làm thay đổi hạng, nên số đó chính là hạng của ma trận ban đầu.

Định thức cho một phép thử nhanh. Nếu det(A) khác 0 thì hạng bằng 3 và xong. Nếu det(A) bằng 0 thì hạng nhiều nhất là 2 và bạn vẫn phải phân biệt giữa 2, 1 và 0. Hạng bằng 2 nếu có một khối 2×2 trong ma trận có định thức khác 0, và bằng 1 nếu mọi hàng đều là bội của một hàng khác 0.

  Ví dụ giải chi tiết

Lấy ma trận có các hàng (1, 2, 3), (2, 4, 6) và (1, 0, 1).

Lấy hàng 2 trừ 2 lần hàng 1: kết quả (0, 0, 0). Lấy hàng 3 trừ hàng 1: kết quả (0, −2, −2).

Đổi chỗ hàng 2 và 3 để hàng 0 nằm dưới cùng. Dạng bậc thang có các hàng (1, 2, 3), (0, −2, −2) và (0, 0, 0). Hai hàng khác 0, nên hạng bằng 2.

Các định thức con cũng khớp. Định thức của cả ma trận bằng 0 vì hàng 2 gấp đôi hàng 1. Khối 2×2 từ hàng 1, 3 và cột 1, 2 có định thức 1·0 − 2·1 = −2, khác 0, nên hạng đúng bằng 2.

  Ý nghĩa của từng giá trị hạng

Hạng 3 nghĩa là ma trận khả nghịch và hệ ba phương trình với ma trận hệ số này có đúng một nghiệm. Hạng 2 nghĩa là ba hàng cùng nằm trên một mặt phẳng qua gốc, hạng 1 nghĩa là chúng nằm trên một đường thẳng, còn hạng 0 chỉ xảy ra với ma trận không.

Hiệu 3 − hạng là số ẩn tự do của hệ thuần nhất Ax = 0. Đó là định lý hạng và số chiều hạt nhân.

Máy tính ở trên được đặt sẵn cỡ 3×3. Mặc định nó dùng biến đổi hàng sơ cấp; bạn có thể chuyển sang phương pháp định thức con bao quanh trong menu phương pháp để xem con đường qua định thức.