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3131313131351515151515≈83137
隣接小行列式法を用いたランクの求め方
単一の非零要素（1×1 小行列式）から開始します。隣接する行と列で拡張して 2×2 小行列式を形成します。2×2 小行列式が非零の場合、3×3 へと拡張を続けます。ランクは最大の非零隣接小行列式のサイズです。
隣接小行列式法 — 計算例（4×4）
初期行列
A
を書き出す:
A
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
2
STEP [0]行列
を見てみましょう。要素の中に非ゼロの値があります。
例えば、行
1
と列
1
の交点には非ゼロ要素があります。
この要素を1次小行列(
M
0
1
)と呼びましょう。
M
0
1
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
;
行列
には1次小行列があるので、rank(
) ≥ 1 となります。
3
STEP [0]1
次小行列(
M
0
1
)に隣接する非ゼロの
2
次小行列(
M
0
2
)を見つけてみましょう。
行
2
と列
1, 2
の交点にある
1
次小行列に隣接する
2
次小行列を見つけます。
M
0
2
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
1
=
1
;
非ゼロの
2
次小行列が存在するので、rank(
) ≥
2
となります。
この小行列を
M
0
2
と呼びましょう。
4
STEP [0]2
次小行列(
M
0
2
)に隣接する非ゼロの
3
次小行列(
M
0
3
)を見つけてみましょう。
行
3
と列
1, 2, 3
の交点にある
2
次小行列に隣接する
3
次小行列を見つけます。
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
2
1
4
3
2
6
=
0
この小行列はゼロに等しいです。
なので、可能であれば、探索を続けます!
行
3
と列
1, 2, 4
の交点にある
2
次小行列に隣接する
3
次小行列を見つけます。
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
2
2
1
4
4
1
8
=
0
この小行列はゼロに等しいです。
なので、可能であれば、探索を続けます!
行
4
と列
1, 2, 3
の交点にある
2
次小行列に隣接する
3
次小行列を見つけます。
M
0
3
=
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
1
2
1
0
3
2
1
=
2
;
非ゼロの
3
次小行列が存在するので、rank(
) ≥
3
となります。
この小行列を
M
0
3
と呼びましょう。
5
STEP [0]3
次小行列(
M
0
3
)に隣接する非ゼロの
4
次小行列(
M
0
4
)を見つけてみましょう。
行
3
と列
1, 2, 3, 4
の交点にある
3
次小行列に隣接する
4
次小行列を見つけます。
1
0
2
1
2
1
4
0
3
2
6
1
4
1
8
3
=
1
0
1
2
2
1
0
4
3
2
1
6
4
1
3
8
=
0
この小行列はゼロに等しいです。
なので、可能であれば、探索を続けます!
小行列
M
0
3
に隣接する
4
次小行列をすべてチェックしましたが、すべてゼロに等しいです。
最後の非ゼロ小行列は
3
次小行列であったため、rank(
) =
3
となります。
Answer
rank(A) = rank(
A
) =
3
;
サイズ4×4方法隣接する小行列式