Rozkład według:
0
0
0
0
Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Jak obliczyć wyznacznik metodą Montante (algorytm Bareissa)
Metoda Montante (znana również jako algorytm Bareissa) to wariant eliminacji Gaussa zachowujący liczby całkowite. Na każdym kroku element główny z poprzedniej iteracji dzieli dokładnie nowe wpisy, utrzymując każdy wynik pośredni całkowity. Wyznacznik jest ostatnim elementem głównym.
Metoda Montante (Bareissa) — przykład pracujący (5×5)
Zapisz macierz początkową
A
:
A
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
Sprowadzić macierz
A
do postaci schodkowej metodą Montante (algorytm Bareissa), a wtedy ostatni element na głównej przekątnej będzie równy wyznacznikowi macierzy
A
;
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:a
(k+1)
i,j
=
a
(k)
i,j
·
p
0
k+1
−
a
(k)
k+1,j
·
a
(k)
i,k+1
p
0
k
a
a to element macierzy A;p
p to aktualny element kluczowy;2
Iteracja 1A0
=
3
1
2
0
1
1
4
1
2
0
2
0
5
1
2
0
2
1
3
1
1
1
0
2
4
W pierwszej iteracji poprzedni element kluczowy jest zawsze równy 1:
p0
=
1
;
Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A0
) o indeksach
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
3
;
Oblicz następną macierz (
A1
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A0
);
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;
Zapisz macierz początkową
A1
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A1
=
3
0
0
0
0
1
x
x
x
x
2
x
x
x
x
0
x
x
x
x
1
x
x
x
x
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
;
Gdzie:
p0
to poprzedni element kluczowy;
p1
to aktualny element kluczowy;
a0
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracji;
a1
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracji;
i
to numer wiersza;
j
to numer kolumny;
Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5}
A1
=
3
0
0
0
0
1
11
1
6
-1
2
-2
11
3
4
0
6
3
9
3
1
2
-2
6
11
a1
0
2,2
=
a0
0
2,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
2,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
a1
0
2,3
=
a0
0
2,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
2,1
p0
=
0
*
3
-
2
*
1
1
=
-2
;
a1
0
2,4
=
a0
0
2,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
2,1
p0
=
2
*
3
-
0
*
1
1
=
6
;
a1
0
2,5
=
a0
0
2,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
2,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
1
1
=
2
;
a1
0
3,2
=
a0
0
3,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
1
*
2
1
=
1
;
a1
0
3,3
=
a0
0
3,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
3,1
p0
=
5
*
3
-
2
*
2
1
=
11
;
a1
0
3,4
=
a0
0
3,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
3,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
2
1
=
3
;
a1
0
3,5
=
a0
0
3,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
3,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
2
1
=
-2
;
a1
0
4,2
=
a0
0
4,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
4,3
=
a0
0
4,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
4,1
p0
=
1
*
3
-
2
*
0
1
=
3
;
a1
0
4,4
=
a0
0
4,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
4,1
p0
=
3
*
3
-
0
*
0
1
=
9
;
a1
0
4,5
=
a0
0
4,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
4,1
p0
=
2
*
3
-
1
*
0
1
=
6
;
a1
0
5,2
=
a0
0
5,2
*
p1
-
a0
0
1,2
*
a0
0
5,1
p0
=
0
*
3
-
1
*
1
1
=
-1
;
a1
0
5,3
=
a0
0
5,3
*
p1
-
a0
0
1,3
*
a0
0
5,1
p0
=
2
*
3
-
2
*
1
1
=
4
;
a1
0
5,4
=
a0
0
5,4
*
p1
-
a0
0
1,4
*
a0
0
5,1
p0
=
1
*
3
-
0
*
1
1
=
3
;
a1
0
5,5
=
a0
0
5,5
*
p1
-
a0
0
1,5
*
a0
0
5,1
p0
=
4
*
3
-
1
*
1
1
=
11
;
Ukryj opis
3
Iteracja 2Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A1
) o indeksach
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
11
;
Oblicz następną macierz (
A2
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A1
);
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe
p2
;
Zapisz macierz początkową
A2
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
x
-2
x
x
x
x
6
x
x
x
x
2
x
x
x
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
;
Gdzie:
p1
to poprzedni element kluczowy;
p2
to aktualny element kluczowy;
a1
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracji;
a2
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracji;
i
to numer wiersza;
j
to numer kolumny;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5}
A2
=
11
0
0
0
0
0
11
0
0
0
8
-2
41
15
14
-2
6
9
21
13
3
2
-8
18
41
a2
0
1,3
=
a1
0
1,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
1,2
p1
=
2
*
11
-
-2
*
1
3
=
8
;
a2
0
1,4
=
a1
0
1,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
1,2
p1
=
0
*
11
-
6
*
1
3
=
-2
;
a2
0
1,5
=
a1
0
1,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
1,2
p1
=
1
*
11
-
2
*
1
3
=
3
;
a2
0
3,3
=
a1
0
3,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
3,2
p1
=
11
*
11
-
-2
*
1
3
=
41
;
a2
0
3,4
=
a1
0
3,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
3,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
1
3
=
9
;
a2
0
3,5
=
a1
0
3,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
3,2
p1
=
-2
*
11
-
2
*
1
3
=
-8
;
a2
0
4,3
=
a1
0
4,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
4,2
p1
=
3
*
11
-
-2
*
6
3
=
15
;
a2
0
4,4
=
a1
0
4,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
4,2
p1
=
9
*
11
-
6
*
6
3
=
21
;
a2
0
4,5
=
a1
0
4,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
4,2
p1
=
6
*
11
-
2
*
6
3
=
18
;
a2
0
5,3
=
a1
0
5,3
*
p2
-
a1
0
2,3
*
a1
0
5,2
p1
=
4
*
11
-
-2
*
-1
3
=
14
;
a2
0
5,4
=
a1
0
5,4
*
p2
-
a1
0
2,4
*
a1
0
5,2
p1
=
3
*
11
-
6
*
-1
3
=
13
;
a2
0
5,5
=
a1
0
5,5
*
p2
-
a1
0
2,5
*
a1
0
5,2
p1
=
11
*
11
-
2
*
-1
3
=
41
;
Ukryj opis
4
Iteracja 3Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A2
) o indeksach
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
41
;
Oblicz następną macierz (
A3
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A2
);
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe
p3
;
Zapisz macierz początkową
A3
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
x
x
9
x
x
x
x
-8
x
x
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
;
Gdzie:
p2
to poprzedni element kluczowy;
p3
to aktualny element kluczowy;
a2
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracji;
a3
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracji;
i
to numer wiersza;
j
to numer kolumny;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5}
A3
=
41
0
0
0
0
0
41
0
0
0
0
0
41
0
0
-14
24
9
66
37
17
6
-8
78
163
a3
0
1,4
=
a2
0
1,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
1,3
p2
=
-2
*
41
-
9
*
8
11
=
-14
;
a3
0
1,5
=
a2
0
1,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
1,3
p2
=
3
*
41
-
-8
*
8
11
=
17
;
a3
0
2,4
=
a2
0
2,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
2,3
p2
=
6
*
41
-
9
*
-2
11
=
24
;
a3
0
2,5
=
a2
0
2,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
2,3
p2
=
2
*
41
-
-8
*
-2
11
=
6
;
a3
0
4,4
=
a2
0
4,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
4,3
p2
=
21
*
41
-
9
*
15
11
=
66
;
a3
0
4,5
=
a2
0
4,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
4,3
p2
=
18
*
41
-
-8
*
15
11
=
78
;
a3
0
5,4
=
a2
0
5,4
*
p3
-
a2
0
3,4
*
a2
0
5,3
p2
=
13
*
41
-
9
*
14
11
=
37
;
a3
0
5,5
=
a2
0
5,5
*
p3
-
a2
0
3,5
*
a2
0
5,3
p2
=
41
*
41
-
-8
*
14
11
=
163
;
Ukryj opis
5
Iteracja 4Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A3
) o indeksach
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
66
;
Oblicz następną macierz (
A4
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A3
);
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe
p4
;
Zapisz macierz początkową
A4
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
x
x
x
78
x
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
;
Gdzie:
p3
to poprzedni element kluczowy;
p4
to aktualny element kluczowy;
a3
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracji;
a4
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracji;
i
to numer wiersza;
j
to numer kolumny;
Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5}
A4
=
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
0
0
0
0
66
0
54
-36
-30
78
192
a4
0
1,5
=
a3
0
1,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
1,4
p3
=
17
*
66
-
78
*
-14
41
=
54
;
a4
0
2,5
=
a3
0
2,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
2,4
p3
=
6
*
66
-
78
*
24
41
=
-36
;
a4
0
3,5
=
a3
0
3,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
3,4
p3
=
-8
*
66
-
78
*
9
41
=
-30
;
a4
0
5,5
=
a3
0
5,5
*
p4
-
a3
0
4,5
*
a3
0
5,4
p3
=
163
*
66
-
78
*
37
41
=
192
;
Ukryj opis
6
Iteracja 5Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A4
) o indeksach
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
192
;
Oblicz następną macierz (
A5
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A4
);
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe
p5
;
Zapisz macierz początkową
A5
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A5
=
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
0
0
0
0
0
192
Jak widzimy, nie ma nieznanych elementów, co oznacza, że obliczenie macierzy
A5
jest już zakończone;
7
Wyznacznik macierzydet(
A
) =
A3
0
5,5
=
192
;
Answer
det(A)det(
A
) =
192
;
Rozmiar5×5MetodaMontante (algorytm Bareissa)