Kalkulator rzędu macierzy 2×2

  Trzy możliwe rzędy macierzy 2×2

Rząd macierzy to liczba liniowo niezależnych wierszy, zawsze równa liczbie liniowo niezależnych kolumn. Macierz 2×2 ma tylko trzy możliwości.

Rząd 0: każdy element jest zerem. Tylko macierz zerowa ma rząd 0.

Rząd 1: macierz nie jest zerowa, ale jeden wiersz jest wielokrotnością drugiego. To dokładnie przypadek, gdy wyznacznik a·d − b·c równa się zero.

Rząd 2: wyznacznik jest różny od zera. Wiersze są niezależne, macierz jest odwracalna i mówimy, że ma pełny rząd.

Dla macierzy 2×2 jedno odejmowanie rozstrzyga sprawę: oblicz a·d − b·c. Jeśli nie jest zerem, rząd wynosi 2. Jeśli jest zerem, rząd wynosi 1, chyba że wszystkie cztery elementy są zerami.

  Rozwiązany przykład

Weźmy macierz o wierszach (2, 4) i (1, 2). Wyznacznik to 2·2 − 4·1 = 0, więc rząd jest mniejszy niż 2. Macierz nie jest zerowa, więc rząd wynosi 1. Przekształcenia wierszy pokazują to samo: odjęcie 1/2 wiersza 1 od wiersza 2 zostawia wiersze (2, 4) i (0, 0), z jednym niezerowym wierszem.

Zmieńmy jeden element i weźmy wiersze (2, 4) i (1, 3). Teraz wyznacznik to 2·3 − 4·1 = 2, różny od zera, więc rząd wynosi 2. Odjęcie 1/2 wiersza 1 od wiersza 2 daje (0, 1) i oba wiersze są niezerowe.

  Co mówi rząd

Dla układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi rząd 2 macierzy współczynników oznacza, że dwie proste przecinają się w dokładnie jednym punkcie. Rząd 1 oznacza, że proste są równoległe lub pokrywają się, więc nie ma rozwiązań albo jest ich nieskończenie wiele.

Jako przekształcenie płaszczyzny macierz rzędu 2 odwzorowuje płaszczyznę na całą płaszczyznę, macierz rzędu 1 spłaszcza ją do prostej, a macierz zerowa wysyła wszystko do początku układu.

Kalkulator powyżej jest ustawiony na 2×2 i pokazuje operacje na wierszach, którymi dochodzi do odpowiedzi.