Kalkulator rzędu macierzy 3×3

  Jak wyznaczyć rząd macierzy 3×3

Rząd macierzy 3×3 wynosi 0, 1, 2 lub 3. Najpewniejszy sposób, by go znaleźć, to przekształcenia wierszy: operacjami elementarnymi sprowadź macierz do postaci schodkowej, a potem policz wiersze, które nie są w całości zerowe. Operacje na wierszach nie zmieniają rzędu, więc ta liczba jest rzędem pierwotnej macierzy.

Wyznacznik daje szybki pierwszy test. Jeśli det(A) jest różny od zera, rząd wynosi 3 i koniec. Jeśli det(A) jest zerem, rząd wynosi co najwyżej 2 i trzeba jeszcze rozstrzygnąć między 2, 1 i 0. Rząd wynosi 2, jeśli jakiś blok 2×2 wewnątrz macierzy ma niezerowy wyznacznik, a 1, jeśli każdy wiersz jest wielokrotnością jednego niezerowego wiersza.

  Rozwiązany przykład

Weźmy macierz o wierszach (1, 2, 3), (2, 4, 6) i (1, 0, 1).

Odejmujemy 2 razy wiersz 1 od wiersza 2: wynik to (0, 0, 0). Odejmujemy wiersz 1 od wiersza 3: wynik to (0, −2, −2).

Zamieniamy wiersze 2 i 3, by wiersz zerowy był na dole. Postać schodkowa ma wiersze (1, 2, 3), (0, −2, −2) i (0, 0, 0). Dwa wiersze są niezerowe, więc rząd wynosi 2.

Minory się zgadzają. Wyznacznik całej macierzy to 0, bo wiersz 2 jest dwukrotnością wiersza 1. Blok 2×2 z wierszy 1 i 3 oraz kolumn 1 i 2 ma wyznacznik 1·0 − 2·1 = −2, różny od zera, więc rząd wynosi dokładnie 2.

  Co oznacza każdy rząd

Rząd 3 oznacza, że macierz jest odwracalna, a układ trzech równań z tą macierzą współczynników ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rząd 2 oznacza, że trzy wiersze leżą na wspólnej płaszczyźnie przechodzącej przez początek układu, rząd 1, że leżą na wspólnej prostej, a rząd 0 ma tylko macierz zerowa.

Różnica 3 − rząd to liczba zmiennych wolnych w układzie jednorodnym Ax = 0. To twierdzenie o rzędzie i defekcie.

Kalkulator powyżej jest ustawiony na 3×3. Domyślnie używa elementarnych operacji na wierszach; w menu metody możesz przełączyć się na metodę minorów obrzeżających, by zobaczyć drogę przez wyznaczniki.