x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
x1
+x2
+x3
+x4
=0
Định dạng số
Bình luận giải pháp
Không có mô tả (chỉ hiển thị kết quả)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Cách giải hệ bằng khử Gauss-Jordan
Tăng cường ma trận hệ số bằng vectơ hằng. Áp dụng phép toán hàng sơ cấp để đạt dạng bậc thang giảm (1 trên đường chéo, 0 trên dưới mỗi trục). Cột hằng số sau đó chứa nghiệm trực tiếp.
Ví dụ Gauss-Jordan — (4 phương trình)
Viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
Để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính, sử dụng phương pháp
Gauss-Jordan
, chúng ta có thể biến đổi dạng ma trận của hệ sao cho phần tử bên trái của ma trận trở thành ma trận đơn vị, sau đó bên phải ta có các nghiệm của hệ;
2
Lặp lại lần 1Thu được các số 0 ở cột
1
;
Phần tử với chỉ số
1,1
trở thành phần tử trụ;
Dòng chứa phần tử trụ không thay đổi;
Tất cả các phần tử khác của ma trận được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp hình chữ nhật tương đối với phần tử trụ:
Chuyển các số 0 đến cột chứa phần tử trụ:
1
0
0
0
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
5
a
0
2,2
=
1
3
4
2
2
2
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
2
*
1
- (
3
*
2
) =
-4
;
a
0
2,3
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
4
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
4
*
1
- (
3
*
1
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
4
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
3
*
-1
) =
7
;
a
0
2,5
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
16
22
15
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
16
*
1
- (
3
*
5
) =
1
;
a
0
3,2
=
1
3
4
2
2
-4
4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
4
*
1
- (
4
*
2
) =
-4
;
a
0
3,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
3
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
3
*
1
- (
4
*
1
) =
-1
;
a
0
3,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
4
5
5
1
22
15
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
4
*
1
- (
4
*
-1
) =
8
;
a
0
3,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
22
15
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
22
*
1
- (
4
*
5
) =
2
;
a
0
4,2
=
1
3
4
2
2
-4
-4
0
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
2
*
2
) =
-4
;
a
0
4,3
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,3
) =
1
*
1
- (
2
*
1
) =
-1
;
a
0
4,4
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
5
5
1
2
15
=
a
0
4,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,4
) =
5
*
1
- (
2
*
-1
) =
7
;
a
0
4,5
=
1
3
4
2
2
-4
-4
-4
1
1
-1
-1
-1
7
8
7
5
1
2
15
=
a
0
4,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
4,1
*
a
0
1,5
) =
15
*
1
- (
2
*
5
) =
5
;
Ẩn mô tả
3
Lặp lại lần 2Chia hàng
2
cho
-4
;
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
a
0
2,2
=
-4
-4
=
1
;
a
0
2,3
=
1
-4
=
-
1
4
;
a
0
2,4
=
7
-4
=
-1
3
4
;
a
0
2,5
=
1
-4
=
-
1
4
;
Ẩn mô tả
Thu được các số 0 ở cột
2
;
Phần tử với chỉ số
2,2
trở thành phần tử trụ;
Dòng chứa phần tử trụ không thay đổi;
Tất cả các phần tử khác của ma trận được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp hình chữ nhật tương đối với phần tử trụ:
Chuyển các số 0 đến cột chứa phần tử trụ:
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
4
a
0
1,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
1
1
2
;
a
0
1,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
-1
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
-1
*
1
- (
2
*
-1
3
4
) =
2
1
2
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
-
1
4
2
5
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
2
*
-
1
4
) =
5
1
2
;
a
0
3,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-1
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
3,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
8
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
8
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
1
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
2
5
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
2
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
1
;
a
0
4,3
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-1
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,3
) =
-1
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
-2
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
7
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,4
) =
7
*
1
- (
-4
*
-1
3
4
) =
0
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
2
1
-4
-4
1
1
2
-
1
4
-2
-2
2
1
2
-1
3
4
1
0
5
1
2
-
1
4
1
5
=
a
0
4,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
4,2
*
a
0
2,5
) =
5
*
1
- (
-4
*
-
1
4
) =
4
;
Ẩn mô tả
4
Lặp lại lần 3Chia hàng
3
cho
-2
;
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
a
0
3,3
=
-2
-2
=
1
;
a
0
3,4
=
1
-2
=
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
-2
=
-
1
2
;
Ẩn mô tả
Thu được các số 0 ở cột
3
;
Phần tử với chỉ số
3,3
trở thành phần tử trụ;
Dòng chứa phần tử trụ không thay đổi;
Tất cả các phần tử khác của ma trận được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp hình chữ nhật tương đối với phần tử trụ:
Chuyển các số 0 đến cột chứa phần tử trụ:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
3
a
0
1,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
2
1
2
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
2
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
3
1
4
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
5
1
2
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
5
1
2
*
1
- (
1
1
2
*
-
1
2
) =
6
1
4
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
3
4
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-1
3
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-1
7
8
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
1
4
-
1
2
4
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
4
*
1
- (
-
1
4
*
-
1
2
) =
-
3
8
;
a
0
4,4
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
0
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,4
) =
0
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
-1
;
a
0
4,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
-
1
4
1
-2
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
-1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
4
=
a
0
4,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
4,3
*
a
0
3,5
) =
4
*
1
- (
-2
*
-
1
2
) =
3
;
Ẩn mô tả
5
Lặp lại lần 4Chia hàng
4
cho
-1
;
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
a
0
4,4
=
-1
-1
=
1
;
a
0
4,5
=
3
-1
=
-3
;
Ẩn mô tả
Thu được các số 0 ở cột
4
;
Phần tử với chỉ số
4,4
trở thành phần tử trụ;
Dòng chứa phần tử trụ không thay đổi;
Tất cả các phần tử khác của ma trận được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp hình chữ nhật tương đối với phần tử trụ:
Chuyển các số 0 đến cột chứa phần tử trụ:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
16
-6
-2
-3
a
0
1,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
6
1
4
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
1,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
1,4
*
a
0
4,5
) =
6
1
4
*
1
- (
3
1
4
*
-3
) =
16
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-
3
8
-
1
2
-3
=
a
0
2,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
2,4
*
a
0
4,5
) =
-
3
8
*
1
- (
-1
7
8
*
-3
) =
-6
;
a
0
3,5
=
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
3
1
4
-1
7
8
-
1
2
1
16
-6
-
1
2
-3
=
a
0
3,5
*
a
0
4,4
- (
a
0
3,4
*
a
0
4,5
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-3
) =
-2
;
Ẩn mô tả
Answer
Ax = bx
0
1
=
16
;
x
0
2
=
-6
;
x
0
3
=
-2
;
x
0
4
=
-3
;
Kích thước4×5Phương phápGauss-Jordan