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3131313131351515151515≈83137
몬탄테 방법으로 역행렬을 찾는 방법
배레이스 스타일 정수 보존 소거를 [A|I] 확대 행렬에 적용합니다. 각 소거 단계에서 이전 피벗으로 정확히 나누므로 중간 값들이 모두 정수로 유지됩니다. 완전히 축약된 후 우측에 역행렬이 나타납니다.
몬탄테(배레이스) 역행렬 — 계산 예시 (4×4)
초기 행렬
A
을 작성합니다.
A
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
행렬
A
의 역행렬을 찾으려면 오른쪽에 같은 크기의 단위 행렬을 추가할 수 있습니다.
그 후,
몽땅(Bareiss 알고리즘)
방법을 사용하여 행렬의 왼쪽 부분이 단위 행렬이 되도록 변환하면 오른쪽 부분에서 행렬
A
의 역행렬을 얻습니다.
확장된 행렬을 작성합니다(행렬
A
의 오른쪽에 단위 행렬 추가):
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
반복 1A0
=
4
1
0
1
1
5
1
0
0
1
4
1
1
0
1
3
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
첫 번째 반복에서 이전 피벗 요소는 항상 1과 같습니다.
p0
=
1
;
현재 피벗 요소는 인덱스
1
,
1
가 있는 이전 행렬(
A0
)의 요소와 같습니다.
p1
=
a0
0
1,1
=
4
;
이전 행렬(
A0
)을 기반으로 다음 행렬(
A1
)을 계산합니다.
1)
피벗 요소가 있는 줄은 다음 행렬에 변경 없이 다시 작성됩니다.2)
피벗 요소 자체를 제외하고 피벗 요소가 있는 열의 모든 요소에 0을 씁니다.초기 행렬
A1
을 작성하고 찾아야 할 요소를 알 수 없음으로 표시합니다.
A1
=
4
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
알 수 없는 요소를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
은 이전 피벗 요소입니다.p1
은 현재 피벗 요소입니다.a0
은 이전 반복에서 계산된 이전 행렬의 요소입니다.a1
은 현재 반복에서 계산된 다음 행렬의 요소입니다.i
은 행 번호입니다.j
은 열 번호입니다.Ɐ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4} × {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A1
=
4
0
0
0
1
19
4
-1
0
4
16
4
1
-1
4
11
1
-1
0
-1
0
4
0
0
0
0
4
0
0
0
0
4
4
반복 2현재 피벗 요소는 인덱스
2
,
2
가 있는 이전 행렬(
A1
)의 요소와 같습니다.
p2
=
a1
0
2,2
=
19
;
이전 행렬(
A1
)을 기반으로 다음 행렬(
A2
)을 계산합니다.
1)
피벗 요소가 있는 줄은 다음 행렬에 변경 없이 다시 작성됩니다.2)
피벗 요소 자체를 제외하고 피벗 요소가 있는 열의 모든 요소에 0을 씁니다.3)
이전의 모든 피벗 요소를 p2으로 바꿉니다.초기 행렬
A2
을 작성하고 찾아야 할 요소를 알 수 없음으로 표시합니다.
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
×××
4
×××
-1
×××
-1
×××
4
×××
0
×××
0
알 수 없는 요소를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
은 이전 피벗 요소입니다.p2
은 현재 피벗 요소입니다.a1
은 이전 반복에서 계산된 이전 행렬의 요소입니다.a2
은 현재 반복에서 계산된 다음 행렬의 요소입니다.i
은 행 번호입니다.j
은 열 번호입니다.Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4} × {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A2
=
19
0
0
0
0
19
0
0
-1
4
72
20
5
-1
20
52
5
-1
1
-5
-1
4
-4
1
0
0
19
0
0
0
0
19
5
반복 3현재 피벗 요소는 인덱스
3
,
3
가 있는 이전 행렬(
A2
)의 요소와 같습니다.
p3
=
a2
0
3,3
=
72
;
이전 행렬(
A2
)을 기반으로 다음 행렬(
A3
)을 계산합니다.
1)
피벗 요소가 있는 줄은 다음 행렬에 변경 없이 다시 작성됩니다.2)
피벗 요소 자체를 제외하고 피벗 요소가 있는 열의 모든 요소에 0을 씁니다.3)
이전의 모든 피벗 요소를 p3으로 바꿉니다.초기 행렬
A3
을 작성하고 찾아야 할 요소를 알 수 없음으로 표시합니다.
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
×××
20
×××
1
×××
-4
×××
19
×××
0
알 수 없는 요소를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
은 이전 피벗 요소입니다.p3
은 현재 피벗 요소입니다.a2
은 이전 반복에서 계산된 이전 행렬의 요소입니다.a3
은 현재 반복에서 계산된 다음 행렬의 요소입니다.i
은 행 번호입니다.j
은 열 번호입니다.Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4} × {4, 5, 6, 7, 8}
A3
=
72
0
0
0
0
72
0
0
0
0
72
0
20
-8
20
176
19
-4
1
-20
-4
16
-4
8
1
-4
19
-20
0
0
0
72
6
반복 4현재 피벗 요소는 인덱스
4
,
4
가 있는 이전 행렬(
A3
)의 요소와 같습니다.
p4
=
a3
0
4,4
=
176
;
이전 행렬(
A3
)을 기반으로 다음 행렬(
A4
)을 계산합니다.
1)
피벗 요소가 있는 줄은 다음 행렬에 변경 없이 다시 작성됩니다.2)
피벗 요소 자체를 제외하고 피벗 요소가 있는 열의 모든 요소에 0을 씁니다.3)
이전의 모든 피벗 요소를 p4으로 바꿉니다.초기 행렬
A4
을 작성하고 찾아야 할 요소를 알 수 없음으로 표시합니다.
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
×××
-20
×××
8
×××
-20
×××
72
알 수 없는 요소를 찾으려면 다음 공식을 사용하십시오.
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
은 이전 피벗 요소입니다.p4
은 현재 피벗 요소입니다.a3
은 이전 반복에서 계산된 이전 행렬의 요소입니다.a4
은 현재 반복에서 계산된 다음 행렬의 요소입니다.i
은 행 번호입니다.j
은 열 번호입니다.Ɐ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3} × {5, 6, 7, 8}
A4
=
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
0
0
0
0
176
52
-12
8
-20
-12
40
-12
8
8
-12
52
-20
-20
8
-20
72
7
행렬 역행렬행렬의 각 0이 아닌 요소를
176
으로 나눕니다.
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
Answer
B = A⁻¹3
10
-
7
100
1
20
-
11
100
-
7
100
23
100
-
7
100
1
20
1
20
-
7
100
3
10
-
11
100
-
11
100
1
20
-
11
100
41
100
크기4×4방법몽땅(Bareiss 알고리즘)