2×2 행렬 계수(랭크) 계산기

  2×2 행렬이 가질 수 있는 세 가지 랭크

행렬의 랭크(계수)는 선형 독립인 행의 개수이며, 이는 항상 선형 독립인 열의 개수와 같습니다. 2×2 행렬에는 세 가지 가능성만 있습니다.

랭크 0: 모든 성분이 0입니다. 영행렬만 랭크 0입니다.

랭크 1: 영행렬은 아니지만 한 행이 다른 행의 배수입니다. 행렬식 a·d − b·c가 0인 경우가 정확히 이것입니다.

랭크 2: 행렬식이 0이 아닙니다. 행이 독립이고, 행렬은 가역이며, 최대 랭크를 가진다고 말합니다.

그러므로 2×2 행렬은 뺄셈 하나로 결정됩니다. a·d − b·c를 계산하세요. 0이 아니면 랭크는 2입니다. 0이면 랭크는 1이고, 네 성분이 모두 0인 경우만 예외입니다.

  예제 풀이

행이 (2, 4)와 (1, 2)인 행렬을 봅시다. 행렬식은 2·2 − 4·1 = 0이므로 랭크는 2보다 작습니다. 영행렬이 아니므로 랭크는 1입니다. 행 소거도 같은 결과를 보여줍니다. 2행에서 1행의 1/2배를 빼면 행이 (2, 4)와 (0, 0)이 되어 0이 아닌 행이 하나뿐입니다.

성분 하나를 바꿔 행이 (2, 4)와 (1, 3)이 되게 합시다. 이제 행렬식은 2·3 − 4·1 = 2로 0이 아니므로 랭크는 2입니다. 2행에서 1행의 1/2배를 빼면 (0, 1)이고 두 행 모두 0이 아닙니다.

  랭크가 알려주는 것

미지수 두 개인 연립일차방정식에서 계수 행렬의 랭크가 2이면 두 직선이 정확히 한 점에서 만납니다. 랭크가 1이면 두 직선이 평행하거나 같은 직선이므로 해가 없거나 무수히 많습니다.

평면의 변환으로 보면 랭크 2 행렬은 평면을 평면 전체로 보내고, 랭크 1 행렬은 평면을 한 직선으로 눌러 버리며, 영행렬은 모든 것을 원점으로 보냅니다.

위 계산기는 2×2로 설정되어 있으며 답에 이르기까지 사용한 행 연산을 보여줍니다.