3×3 행렬 계수(랭크) 계산기

  3×3 행렬의 랭크 구하는 법

3×3 행렬의 랭크는 0, 1, 2, 3 중 하나입니다. 가장 믿을 만한 방법은 행 소거입니다. 기본 행 연산으로 행렬을 행 사다리꼴로 만든 뒤 0이 아닌 행의 수를 세세요. 행 연산은 랭크를 바꾸지 않으므로 그 수가 원래 행렬의 랭크입니다.

행렬식은 빠른 첫 판정을 줍니다. det(A)가 0이 아니면 랭크는 3이고 끝입니다. det(A)가 0이면 랭크는 많아야 2이고, 2, 1, 0 중 무엇인지 더 가려야 합니다. 행렬 안의 어떤 2×2 블록의 행렬식이 0이 아니면 랭크는 2이고, 모든 행이 0이 아닌 한 행의 배수이면 랭크는 1입니다.

  예제 풀이

행이 (1, 2, 3), (2, 4, 6), (1, 0, 1)인 행렬을 봅시다.

2행에서 1행의 2배를 뺍니다. 결과는 (0, 0, 0)입니다. 3행에서 1행을 뺍니다. 결과는 (0, −2, −2)입니다.

0인 행이 맨 아래로 가도록 2행과 3행을 바꿉니다. 사다리꼴의 행은 (1, 2, 3), (0, −2, −2), (0, 0, 0)입니다. 0이 아닌 행이 둘이므로 랭크는 2입니다.

소행렬식으로도 확인됩니다. 2행이 1행의 2배이므로 전체 행렬식은 0입니다. 1행과 3행, 1열과 2열로 이루어진 2×2 블록의 행렬식은 1·0 − 2·1 = −2로 0이 아니므로 랭크는 정확히 2입니다.

  각 랭크의 의미

랭크 3은 행렬이 가역이고 이 계수 행렬을 갖는 세 방정식의 연립이 정확히 하나의 해를 가진다는 뜻입니다. 랭크 2는 세 행이 원점을 지나는 한 평면 위에 있다는 뜻이고, 랭크 1은 한 직선 위에 있다는 뜻이며, 랭크 0은 영행렬에서만 일어납니다.

3 − 랭크는 동차 연립방정식 Ax = 0의 자유 변수 개수입니다. 이것이 차원 정리입니다.

위 계산기는 3×3으로 설정되어 있습니다. 기본으로 기본 행 연산을 쓰며, 방법 메뉴에서 테두리 소행렬식 방법으로 바꾸면 행렬식을 통한 경로를 볼 수 있습니다.