x1
+x1
+x1
+x1
+x2
+x2
+x2
+x2
+x3
+x3
+x3
+x3
+x4
=x4
=x4
=x4
=Format liczbowy
Komentarze dotyczące rozwiązania
Bez opisu (tylko odpowiedź)
a
b
c
d
x
y
z
clear
i
Randomize
3131313131351515151515≈83137
Jak rozwiązać układ równań metodą Montante (Bareissa)
Zastosuj eliminację w stylu Bareissa zachowującą liczby całkowite do macierzy rozszerzonej. Każda operacja na elemencie głównym dzieli się przez poprzedni element główny dokładnie, więc wartości pośrednie pozostają całkowite. Odczytaj rozwiązanie z ostatecznej postaci zredukowanej.
Metoda Montante (Bareissa) — przykład pracujący (5 równań)
Zapisz układ równań w postaci macierzowej:
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
Aby znaleźć rozwiązania układu równań liniowych za pomocą metody
Montante (algorytm Bareissa)
, możemy przekształcić postać macierzową układu tak, aby lewa część macierzy stała się macierzą jednostkową, a wtedy po prawej stronie otrzymujemy rozwiązania układu;
2
Iteracja 1A0
=
5
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
1
0
1
0
1
5
1
0
1
0
1
4
7
8
6
8
6
W pierwszej iteracji poprzedni element kluczowy jest zawsze równy 1:
p0
=
1
;
Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A0
) o indeksach
1
,
1
:
p1
=
a0
0
1,1
=
5
;
Oblicz następną macierz (
A1
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A0
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;Zapisz macierz początkową
A1
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A1
=
5
0
0
0
0
1
0
1
0
7
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a1
0
i,j
=
a0
0
i,j
*
p1
-
a0
0
1,j
*
a0
0
i,1
p0
p0
to poprzedni element kluczowyp1
to aktualny element kluczowya0
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia1
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {2, 3, 4, 5} × {2, 3, 4, 5, 6}
A1
=
5
0
0
0
0
1
24
5
-1
5
0
5
20
5
0
1
-1
5
24
5
0
5
0
5
20
7
33
30
33
30
3
Iteracja 2Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A1
) o indeksach
2
,
2
:
p2
=
a1
0
2,2
=
24
;
Oblicz następną macierz (
A2
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A1
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p2;Zapisz macierz początkową
A2
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
××××
5
××××
-1
××××
5
××××
33
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a2
0
i,j
=
a1
0
i,j
*
p2
-
a1
0
2,j
*
a1
0
i,2
p1
p1
to poprzedni element kluczowyp2
to aktualny element kluczowya1
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia2
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 3, 4, 5} × {3, 4, 5, 6}
A2
=
24
0
0
0
0
0
24
0
0
0
-1
5
91
25
-5
5
-1
25
115
25
-1
5
-5
25
91
27
33
111
165
111
4
Iteracja 3Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A2
) o indeksach
3
,
3
:
p3
=
a2
0
3,3
=
91
;
Oblicz następną macierz (
A3
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A2
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p3;Zapisz macierz początkową
A3
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
××××
25
××××
-5
××××
111
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a3
0
i,j
=
a2
0
i,j
*
p3
-
a2
0
3,j
*
a2
0
i,3
p2
p2
to poprzedni element kluczowyp3
to aktualny element kluczowya2
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia3
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 4, 5} × {4, 5, 6}
A3
=
91
0
0
0
0
0
91
0
0
0
0
0
91
0
0
20
-9
25
410
100
-4
20
-5
100
344
107
102
111
510
444
5
Iteracja 4Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A3
) o indeksach
4
,
4
:
p4
=
a3
0
4,4
=
410
;
Oblicz następną macierz (
A4
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A3
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p4;Zapisz macierz początkową
A4
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
××××
100
××××
510
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a4
0
i,j
=
a3
0
i,j
*
p4
-
a3
0
4,j
*
a3
0
i,4
p3
p3
to poprzedni element kluczowyp4
to aktualny element kluczowya3
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia4
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 5} × {5, 6}
A4
=
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
0
0
0
0
410
0
-40
100
-50
100
1440
370
510
360
510
1440
6
Iteracja 5Aktualny element kluczowy jest równy elementowi poprzedniej macierzy (
A4
) o indeksach
5
,
5
:
p5
=
a4
0
5,5
=
1440
;
Oblicz następną macierz (
A5
) na podstawie poprzedniej macierzy (
A4
);
1)
Wiersz, w którym znajduje się element kluczowy, jest przepisywany do następnej macierzy bez zmian;2)
Wpisz zero we wszystkich elementach kolumny, w której znajduje się element kluczowy, z wyjątkiem samego elementu kluczowego;3)
Zastąp wszystkie poprzednie elementy kluczowe p5;Zapisz macierz początkową
A5
i zaznacz elementy, które musimy znaleźć jako nieznane:
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
××××
1440
Aby znaleźć nieznane elementy, użyj następującego wzoru:
a5
0
i,j
=
a4
0
i,j
*
p5
-
a4
0
5,j
*
a4
0
i,5
p4
p4
to poprzedni element kluczowyp5
to aktualny element kluczowya4
to element poprzedniej macierzy, obliczony w poprzedniej iteracjia5
to element następnej macierzy, obliczony w bieżącej iteracjii
to numer wierszaj
to numer kolumnyⱯ(
i, j
)
∈ {1, 2, 3, 4} × {6}
A5
=
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
0
0
0
0
0
1440
1440
1440
1440
1440
1440
7
Układ równań liniowychPodziel każdy niezerowy element macierzy przez
1440
;
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
Answer
Ax = bx
0
1
=
1
;
x
0
2
=
1
;
x
0
3
=
1
;
x
0
4
=
1
;
x
0
5
=
1
;
Rozmiar5×6MetodaMontante (algorytm Bareissa)