Máy tính định thức 4×4

  Cách tính định thức ma trận 4×4

Không có công thức ngắn cho định thức 4×4. Viết đầy đủ nó có 24 tích, mỗi tích bốn phần tử, nên không ai tính theo cách đó. Có hai con đường thực tế.

Khai triển theo hàng hoặc cột đưa bài toán về bốn định thức 3×3, mỗi cái nhân với phần tử của nó và dấu theo bàn cờ + − + −. Mỗi số 0 trong hàng được chọn loại bỏ một định thức 3×3, vì vậy luôn khai triển theo hàng hoặc cột có nhiều số 0 nhất.

Biến đổi hàng đưa ma trận về dạng tam giác trên. Cộng bội của một hàng vào hàng khác không làm đổi định thức, đổi chỗ hai hàng làm đổi dấu, và định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo. Với ma trận 4×4, cách này thường chỉ tốn khoảng một phần ba số phép tính của khai triển đầy đủ.

  Ví dụ giải bằng biến đổi hàng

Lấy ma trận có các hàng (2, 1, 0, 1), (4, 3, 1, 2), (0, 2, 3, 1) và (2, 1, 1, 4).

Khử cột thứ nhất. Hàng 2 trừ 2 lần hàng 1 được (0, 1, 1, 0). Hàng 4 trừ hàng 1 được (0, 0, 1, 3). Hàng 3 đã bắt đầu bằng 0.

Khử cột thứ hai. Hàng 3 trừ 2 lần hàng 2 mới được (0, 0, 1, 1). Rồi khử cột thứ ba: hàng 4 trừ hàng 3 được (0, 0, 0, 2).

Ma trận giờ là tam giác trên với đường chéo 2, 1, 1, 2. Không có đổi chỗ hàng nào, nên det(A) = 2·1·1·2 = 4.

  Kiểm tra đáp án

Hai con đường phải cho cùng một số, nên cách này là phép kiểm tra cho cách kia. Máy tính ở trên được đặt sẵn cỡ 4×4 và mặc định khai triển theo hàng hoặc cột, hiển thị từng định thức con 3×3. Chuyển phương pháp sang dạng tam giác để xem biến đổi hàng, hoặc sang Bareiss để khử không dùng phân số, giữ ma trận nguyên luôn ở số nguyên.