Máy tính ma trận nghịch đảo 2×2

  Công thức ma trận nghịch đảo 2×2

Cho ma trận A có các hàng (a, b) và (c, d). Trước hết tính định thức det(A) = a·d − b·c. Nếu định thức bằng 0, ma trận không có nghịch đảo. Ngược lại

A⁻¹ = 1/(a·d − b·c) · [ d −b ; −c a ]

Nói bằng lời: đổi chỗ hai phần tử trên đường chéo chính, đổi dấu hai phần tử còn lại, rồi chia tất cả cho định thức. Ma trận sau khi đổi chỗ và đổi dấu chính là ma trận phụ hợp của A, nên đây là công thức tổng quát A⁻¹ = adj(A) / det(A) ở trường hợp nhỏ nhất.

  Ví dụ giải chi tiết

Lấy ma trận có các hàng (4, 7) và (2, 6). Định thức của nó là 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10, khác 0, nên nghịch đảo tồn tại.

Đổi chỗ 4 và 6, đổi dấu 7 và 2. Ta được các hàng (6, −7) và (−2, 4). Chia cho 10: ma trận nghịch đảo có các hàng (3/5, −7/10) và (−1/5, 2/5).

Kiểm tra bằng phép nhân. Hàng thứ nhất của A nhân cột thứ nhất của nghịch đảo là 4·(3/5) + 7·(−1/5) = 12/5 − 7/5 = 1, hàng thứ nhất nhân cột thứ hai là 4·(−7/10) + 7·(2/5) = −14/5 + 14/5 = 0. Hàng thứ hai cũng cho 0 và 1 tương tự, nên tích là ma trận đơn vị.

  Khi nào ma trận 2×2 không có nghịch đảo

Công thức chia cho a·d − b·c, nên nó không dùng được đúng khi định thức bằng 0. Điều đó xảy ra khi một hàng là bội của hàng kia, như các hàng (2, 4) và (1, 2). Ma trận như vậy gọi là suy biến, và hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số này hoặc vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Máy tính ở trên được đặt sẵn cỡ 2×2. Nó giữ phân số chính xác thay vì làm tròn, nên 3/5 vẫn là 3/5, và cũng nhận số phức và biến.