ارزش های ویژه ماشین حساب

فرمت عددی
نظرات راه حل
بدون توضیحات (فقط پاسخ)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=حل

  درباره ماشین حساب مقادیر ویژه ماتریس

این یک ماشین حساب آنلاین رایگان برای مقادیر ویژه ماتریس است با توضیحات کامل، دقیق، گام به گام راه حل ها، که عملیات روی ماتریس ها تا اندازه 99 × 99 با عناصر ماتریس از این نوع انجام می دهد: اعداد اعشاری، کسری، اعداد مختلط، متغیرها.

برای شروع محاسبه، ابتدا باید اندازه ماتریس را در قسمت ورودی که می توانید از بالای صفحه پیدا کنید وارد کنید، همچنین در آنجا می توانید روش محاسبه مورد نظر را انتخاب کنید.

کمی پایین‌تر یک پنجره ماتریس پیدا می‌کنید که در آن باید عناصر ماتریس را با استفاده از صفحه‌کلید وارد کنید. پنل کنترل ماتریس نیز در اینجا قرار دارد که کار با ماتریس‌ها را ساده‌تر می‌کند و حاوی عناصر کنترل زیر است:

  • اولین عنصر به شما امکان می دهد تا پنجره ماتریس را گسترش دهید. این به خصوص در مواردی که نیاز به انجام محاسبات با ماتریس‌های بسیار بزرگی دارید که به طور کامل جا نمی‌گیرند، می‌تواند مفید باشد. اگر پس از بزرگ کردن پنجره، ماتریس همچنان قابل مشاهده نیست، می توانید مقیاس ماتریس را با استفاده از دکمه های + / - تغییر دهید;
  • دومین عنصر عملکرد کپی ورودی ماتریس به بافر حافظه را انجام می دهد. این در مواردی که اغلب از همان ماتریس برای محاسبات استفاده می کنید، یا نیاز به جابجایی ماتریس ها بین عملیات دارید، مفید است.
  • و آخرین عنصر، ماتریس کپی شده قبلی را وارد می کند، که به شما امکان می دهد فرآیند ورود ماتریس را فقط به چند کلیک، به جای انجام دستی آن، سرعت بخشید.

و در ادامه یک نوار ابزار پیدا خواهید کرد که به شما امکان می دهد تا ماشین حساب را سفارشی کنید و کار با آن را آسان تر کنید. از نظر بصری به سه قسمت تقسیم می شود که هر کدام مسئولیت عملکردهای زیر را بر عهده دارند:

  • اولین مورد به شما امکان می دهد هنگام نمایش نتیجه راه حل، فرمت عدد را انتخاب کنید. همچنین، در اینجا می توانید نظرات مربوط به حل مشکل را غیرفعال کنید، اگر از قبل نحوه حل این مشکل را یاد گرفته اید و از ماشین حساب برای سرعت بخشیدن یا بررسی محاسبات خود استفاده می کنید. یا اگر فقط به نتیجه راه حل نیاز دارید، می توانید راه حل گام به گام را به طور کامل غیرفعال کنید.
  • دومین دکمه‌هایی وجود دارد که به شما امکان می‌دهد نوع ورودی ماتریس را تغییر دهید، عناصر یا کل ماتریس را پاک کنید، و بزرگترین دکمه با علامت مساوی، که شما را به صفحه با راه‌حل مشکل هدایت می‌کند. همه این دکمه ها توسط کلیدهای صفحه کلید تکرار می شوند. برای اینکه بفهمید کدام کلید روی صفحه کلید را فشار دهید، به سادگی روی یکی از دکمه ها نگه دارید و یک راهنما با نام کلید ظاهر می شود. همچنین می توانید از کلیدهای جهت دار صفحه کلید خود برای حرکت دادن نشانگر بین فیلدهای ورودی ماتریس استفاده کنید.
  • و آخرین مورد به شما امکان می دهد تعداد رقم های بعد از نقطه اعشار را برای گرد کردن اعداد غیرصحیح انتخاب کنید. همچنین، در اینجا می توانید بلافاصله ببینید که کسری های گرد به چه شکلی به نظر می رسند.

  مقادیر ویژه ماتریس چیست؟

تعریف مقادیر ویژه (eigenvalue) به بردارهای ویژه (eigenvector) مرتبط است. بردارهای ویژه، بردارهایی هستند که جهت آنها با تبدیل خطی تغییر نمی کند، بلکه با یک عامل ثابت مقیاس می شوند، و این عامل ثابت که بردارهای ویژه در طول تبدیل خطی با آن مقیاس می شوند، همان مقدار ویژه است.

  چگونه مقادیر ویژه یک ماتریس را پیدا کنیم؟

ابتدا باید معادله characteristic (characteristic equation) ماتریس داده شده را پیدا کرده و سپس آن را حل کنیم. ریشه های معادله characteristic یک ماتریس معین، همچنین مقادیر ویژه آن ماتریس هستند. مقادیر ویژه فقط برای ماتریس های مربعی قابل محاسبه است.

  مثالی از یافتن مقادیر ویژه ماتریس

ماتریس اولیه
A
را بنویسید:
A
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
برای یافتن ارزش های ویژه ماتریس
A
، موارد زیر را انجام دهید:
1)
معادله مشخصه ماتریس A را پیدا کنید، برای این کار موارد زیر را انجام دهید:
با کم کردن λ از تمام عناصر قطر اصلی ماتریس A، ماتریس جدیدی (A - λI) تشکیل دهید؛
دترمینان ماتریس A - λI را پیدا کنید؛
دترمینان ماتریس A - λI را برابر با صفر قرار دهید؛
2)
معادله مشخصه ماتریس A را حل کنید؛
3)
ریشه های معادله مشخصه ماتریس A همچنین ارزش های ویژه آن هستند؛
2
Form A − λ·I
ماتریس
A - λI
را تشکیل دهید:
A - λI
=
A
-
λ
*
I
=
71
7
2
8
8
5
5
5
8
-
λ
*
1
0
0
0
1
0
0
0
1
=
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
اکنون باید دترمینان این ماتریس را پیدا کنید؛
3
Characteristic polynomial det(A − λ·I)
det(
A - λI
) =
71
-
λ
7
2
8
8
-
λ
5
5
5
8
-
λ
=
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
4
معادله مشخصه
دترمینان زیر را برای ماتریس
A - λI
پیدا کردیم:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
;
این دترمینان را برابر با صفر قرار دهید و معادله مشخصه ماتریس
A
را بدست آورید:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
اکنون می توانیم این معادله را حل کنیم و ریشه های آن ارزش های ویژه ماتریس
A
را به ما می دهد؛
5
حل معادله مشخصه
معادله اولیه ای که باید ریشه های آن را پیدا کرد بنویسید:
-
λ
3
0
+
87
λ
2
0
-1109
λ
+
2496
= 0;
همانطور که از معادله مشاهده می شود حداکثر درجه متغیر
3
است، به این معنی که معادله از نوع زیر داریم:
aλ
3
0
+
bλ
2
0
+
cλ
+
d
= 0;
// که در آن
a
=
-1
;
b
=
87
;
c
=
-1109
;
d
=
2496
;
برای حل این معادله، می توانیم از روش کاردانو استفاده کنیم که شامل آوردن معادله اولیه به فرم مکعب deprimed (مکعب فروافتاده) است؛
فرم مکعب deprimed (مکعب فروافتاده) به معنای حذف
λ
2
0
از معادله است و به صورت زیر است:
t
3
0
+
pt
+
q
= 0;
// که در آن
t
=
x
+
b
3
a
;
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abs
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
;
ریشه های
λ
0
1
,
λ
0
2
,
λ
0
3
معادله اولیه با ریشه های
t
0
1
,
t
0
2
,
t
0
3
معادله deprimed (فروافتاده) توسط روابط زیر مرتبط هستند:
λ
0
i
=
t
0
i
-
b
3
a
, for
i
= 1, 2, 3;
برای یافتن ریشه های معادله، ابتدا باید تمایز دهنده (temayeez دهنده) معادله deprimed (فروافتاده) را پیدا کرد:
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
;
پس از آن می توانیم سه حالت داشته باشیم:
6
موارد خاص فرمول
مورد
1
، زمانی که
D = 0
سه ریشه حقیقی وجود دارد، اما ریشه دوم و سوم برابر هستند:
t
0
1
=
3
q
p
;
t
0
2
=
t
0
3
= -
3
q
2
p
;
مورد
2
، زمانی که
D > 0
فقط یک ریشه حقیقی و دو ریشه مختلط غیرحقیقی مزدوج وجود دارد:
t
0
1
=
u
-
s
;
t
0
2
= -
u
-
s
2
+
3
2
(
u
+
s
)
i
;
t
0
3
= -
u
-
s
2
-
3
2
(
u
+
s
)
i
;
جایی که:
u
=
3
-
q
2
-
D
;
s
=
p
3
u
;
مورد
3
، زمانی که
D < 0
سه ریشه حقیقی وجود دارد، اما فرمول‌هایی که بیانگر این ریشه‌ها هستند شامل اعداد مختلط هستند. با این وجود، عبارات کاملاً حقیقی از جواب ها ممکن است با استفاده از توابع مثلثاتی به دست آیند:
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
);
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
);
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
- 2
k
);
جایی که:
u
=
2 *
-
p
3
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
);
k
=
2 *
π
3
;
7
فرم مکعب deprimed (مکعب فروافتاده)
p
=
3
ac
-
b
2
0
3
a
2
0
=
3 *
-1
*
-1
-
87
2
0
3 *
-1
2
0
=
-1414
;
q
=
2
b
3
0
- 9
abc
+ 27
a
2
0
d
27
a
3
0
=
2 *
87
3
0
- 9 *
-1
*
87
*
-1109
+ 27 *
-1
2
0
*
2496
27 *
-1
3
0
=
-19113
;
فرم مکعب deprimed (مکعب فروافتاده)
:
t
3
0
-1414
t
-19113
= 0;
D
=
q
2
0
4
+
p
3
0
27
=
-19113
2
0
4
+
-1414
3
0
27
=
-13382416
79
100
;
8
ریشه ها
از آنجایی که
D < 0
مورد
3
را داریم;
سه ریشه حقیقی وجود دارد، اما فرمول‌هایی که بیانگر این ریشه‌ها هستند شامل اعداد مختلط هستند. با این وجود، عبارات کاملاً حقیقی از جواب ها ممکن است با استفاده از توابع مثلثاتی به دست آیند:
u
=
2 *
-
p
3
= 2 *
-
-1414
3
=
43
21
50
;
s
=
1
3
*
arccos
(
3
q
pu
) =
1
3
*
arccos
(
3 *
-19113
-1414
*
43
21
50
)
=
3
25
;
k
=
2 *
π
3
=
2 * 3.14
3
=
2
9
100
;
t
0
1
=
u
*
cos
(
s
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
) =
43
1
10
;
t
0
2
=
u
*
cos
(
s
-
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
-
2
9
100
) =
-16
49
50
;
t
0
3
=
u
*
cos
(
s
-
2
k
) =
43
21
50
*
cos
(
3
25
- 2 *
2
9
100
) =
-26
3
25
;
λ
0
1
=
t
0
1
-
b
3
a
=
43
1
10
-
87
3 *
-1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
t
0
2
-
b
3
a
=
-16
49
50
-
87
3 *
-1
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
t
0
3
-
b
3
a
=
-26
3
25
-
87
3 *
-1
=
2
22
25
;
Answer
det(A − λ · I) = 0
λ
0
1
=
72
1
10
;
λ
0
2
=
12
1
50
;
λ
0
3
=
2
22
25
;
اندازه3×3

  ماشین‌حساب‌های مرتبط

  منابع

Google PlayApp Store