معکوس ماتریس ماشین حساب

فرمت عددی
نظرات راه حل
بدون توضیحات (فقط پاسخ)

a

b

c

d

x

y

z

clear

i

ab
x2
xn

Randomize

3131313131351515151515≈83137
2
2510
=Solve

  درباره ماشین حساب معکوس ماتریس

این یک ماشین حساب آنلاین رایگان برای معکوس ماتریس با استفاده از کوفاکتور، گاس-ژوردن، حذف گاوسی، مونتاژ (الگوریتم Bareiss) است با توضیحات کامل، دقیق، گام به گام راه حل ها، که عملیات روی ماتریس ها تا اندازه 99 × 99 با عناصر ماتریس از این نوع انجام می دهد: اعداد اعشاری، کسری، اعداد مختلط، متغیرها.

برای شروع محاسبه، ابتدا باید اندازه ماتریس را در قسمت ورودی که می توانید از بالای صفحه پیدا کنید وارد کنید، همچنین در آنجا می توانید روش محاسبه مورد نظر را انتخاب کنید.

کمی پایین‌تر یک پنجره ماتریس پیدا می‌کنید که در آن باید عناصر ماتریس را با استفاده از صفحه‌کلید وارد کنید. پنل کنترل ماتریس نیز در اینجا قرار دارد که کار با ماتریس‌ها را ساده‌تر می‌کند و حاوی عناصر کنترل زیر است:

  • اولین عنصر به شما امکان می دهد تا پنجره ماتریس را گسترش دهید. این به خصوص در مواردی که نیاز به انجام محاسبات با ماتریس‌های بسیار بزرگی دارید که به طور کامل جا نمی‌گیرند، می‌تواند مفید باشد. اگر پس از بزرگ کردن پنجره، ماتریس همچنان قابل مشاهده نیست، می توانید مقیاس ماتریس را با استفاده از دکمه های + / - تغییر دهید;
  • دومین عنصر عملکرد کپی ورودی ماتریس به بافر حافظه را انجام می دهد. این در مواردی که اغلب از همان ماتریس برای محاسبات استفاده می کنید، یا نیاز به جابجایی ماتریس ها بین عملیات دارید، مفید است.
  • و آخرین عنصر، ماتریس کپی شده قبلی را وارد می کند، که به شما امکان می دهد فرآیند ورود ماتریس را فقط به چند کلیک، به جای انجام دستی آن، سرعت بخشید.

و در ادامه یک نوار ابزار پیدا خواهید کرد که به شما امکان می دهد تا ماشین حساب را سفارشی کنید و کار با آن را آسان تر کنید. از نظر بصری به سه قسمت تقسیم می شود که هر کدام مسئولیت عملکردهای زیر را بر عهده دارند:

  • اولین مورد به شما امکان می دهد هنگام نمایش نتیجه راه حل، فرمت عدد را انتخاب کنید. همچنین، در اینجا می توانید نظرات مربوط به حل مشکل را غیرفعال کنید، اگر از قبل نحوه حل این مشکل را یاد گرفته اید و از ماشین حساب برای سرعت بخشیدن یا بررسی محاسبات خود استفاده می کنید. یا اگر فقط به نتیجه راه حل نیاز دارید، می توانید راه حل گام به گام را به طور کامل غیرفعال کنید.
  • دومین دکمه‌هایی وجود دارد که به شما امکان می‌دهد نوع ورودی ماتریس را تغییر دهید، عناصر یا کل ماتریس را پاک کنید، و بزرگترین دکمه با علامت مساوی، که شما را به صفحه با راه‌حل مشکل هدایت می‌کند. همه این دکمه ها توسط کلیدهای صفحه کلید تکرار می شوند. برای اینکه بفهمید کدام کلید روی صفحه کلید را فشار دهید، به سادگی روی یکی از دکمه ها نگه دارید و یک راهنما با نام کلید ظاهر می شود. همچنین می توانید از کلیدهای جهت دار صفحه کلید خود برای حرکت دادن نشانگر بین فیلدهای ورودی ماتریس استفاده کنید.
  • و آخرین مورد به شما امکان می دهد تعداد رقم های بعد از نقطه اعشار را برای گرد کردن اعداد غیرصحیح انتخاب کنید. همچنین، در اینجا می توانید بلافاصله ببینید که کسری های گرد به چه شکلی به نظر می رسند.

  معکوس ماتریس (توان -1 یک ماتریس) چیست؟

اگر هر عددی را برداریم و یک را بر آن عدد تقسیم کنیم، معکوس آن عدد را پیدا می کنیم که معکوس آن عدد است، و اگر آن عدد را در معکوس آن ضرب کنیم، یک به دست می آوریم. همانطور که اعداد معمولی معکوس دارند، ماتریس های مربعی می توانند یک ماتریس معکوس داشته باشند، در صورتی که تعیین کننده آنها برابر با صفر نباشد، در غیر این صورت این ماتریس ها تکین در نظر گرفته می شوند و یافتن ماتریس معکوس برای آنها غیرممکن است. و اگر ماتریس را در ماتریس معکوس آن ضرب کنیم، در نتیجه یک ماتریس واحد به دست می آوریم. ماتریس واحد ماتریسی است که با سایر ماتریس ها به روشی مشابه رفتار می کند که عدد یک با سایر اعداد رفتار می کند، وقتی هر ماتریسی را در ماتریس واحد ضرب می کنیم، در نتیجه همان ماتریس را بدست می آوریم. در ماتریس واحد روی قطر اصلی، عناصر برابر یک هستند و سایر عناصر همه صفر هستند.

  چگونه معکوس ماتریس را با استفاده از گاس-ژوردن پیدا کنیم؟

برای یافتن معکوس یک ماتریس با استفاده از روش گاس-ژوردن، می توانیم یک ماتریس واحد با همان اندازه در سمت راست ماتریس اضافه کنیم. پس از آن، اگر روش گاس-ژوردن را روی چنین ماتریسی به گونه ای اعمال کنیم که یک ماتریس واحد در سمت چپ تشکیل شود، در سمت راست معکوس را به دست می آوریم.

  مثال محاسبه ماتریس وارون

ماتریس اولیه
A
را بنویسید:
A
=
2
1
1
1
3
0
1
2
0
برای یافتن ماتریس معکوس ماتریس
A
، می توانیم در سمت راست آن ماتریس واحد با اندازه مشابه اضافه کنیم؛
پس از آن، با استفاده از روش
گاس-ژوردن
، ماتریس را به گونه ای تغییر می دهیم که قسمت چپ به یک ماتریس واحد تبدیل شود، سپس در قسمت راست ماتریس معکوس ماتریس
A
را بدست می آوریم؛
ماتریس گسترده را بنویسید (ماتریس واحد را به سمت راست ماتریس
A
اضافه کنید):
2
1
1
1
3
0
1
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
تکرار 1
تقسیم سطر
1
بر
2
;
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
a
0
1,1
=
2
2
=
1
;
a
0
1,2
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,3
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,4
=
1
2
=
1
2
;
a
0
1,5
=
0
2
=
0
;
a
0
1,6
=
0
2
=
0
;
پنهان کردن توضیحات
صفرها را در ستون
1
بدست آورید؛
عنصر با اندیس های
1,1
به عنوان محوری در نظر گرفته می شود؛
سطر حاوی عنصر محوری بدون تغییر باقی می ماند؛
تمام عناصر دیگر ماتریس با استفاده از روش مستطیل نسبت به عنصر محوری یافت می شوند:
ستون حاوی عنصر محوری را صفر کنید:
1
0
0
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
a
0
2,2
=
1
1
1
1
2
3
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,2
) =
3
*
1
- (
1
*
1
2
) =
2
1
2
;
a
0
2,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,3
) =
2
*
1
- (
1
*
1
2
) =
1
1
2
;
a
0
2,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
0
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
2,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,5
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
2,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
2,1
*
a
0
1,6
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,2
=
1
1
1
1
2
2
1
2
0
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,2
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,2
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,3
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
0
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,3
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,4
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
0
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,4
) =
0
*
1
- (
1
*
1
2
) =
-
1
2
;
a
0
3,5
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,5
) =
0
*
1
- (
1
*
0
) =
0
;
a
0
3,6
=
1
1
1
1
2
2
1
2
-
1
2
1
2
1
1
2
-
1
2
1
2
-
1
2
-
1
2
0
1
0
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
1,1
- (
a
0
3,1
*
a
0
1,6
) =
1
*
1
- (
1
*
0
) =
1
;
پنهان کردن توضیحات
4
تکرار 2
تقسیم سطر
2
بر
2
1
2
;
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
a
0
2,2
=
2
1
2
2
1
2
=
1
;
a
0
2,3
=
1
1
2
2
1
2
=
3
5
;
a
0
2,4
=
-
1
2
2
1
2
=
-
1
5
;
a
0
2,5
=
1
2
1
2
=
2
5
;
a
0
2,6
=
0
2
1
2
=
0
;
پنهان کردن توضیحات
صفرها را در ستون
2
بدست آورید؛
عنصر با اندیس های
2,2
به عنوان محوری در نظر گرفته می شود؛
سطر حاوی عنصر محوری بدون تغییر باقی می ماند؛
تمام عناصر دیگر ماتریس با استفاده از روش مستطیل نسبت به عنصر محوری یافت می شوند:
ستون حاوی عنصر محوری را صفر کنید:
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
a
0
1,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
2
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,3
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
3
5
) =
1
5
;
a
0
1,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
1
2
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,4
) =
1
2
*
1
- (
1
2
*
-
1
5
) =
3
5
;
a
0
1,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
0
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
1
2
*
2
5
) =
-
1
5
;
a
0
1,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
1,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
1,2
*
a
0
2,6
) =
0
*
1
- (
1
2
*
0
) =
0
;
a
0
3,3
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
2
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,3
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,3
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
3
5
) =
-
1
5
;
a
0
3,4
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
1
2
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,4
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,4
) =
-
1
2
*
1
- (
-
1
2
*
-
1
5
) =
-
3
5
;
a
0
3,5
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
0
0
0
1
=
a
0
3,5
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,5
) =
0
*
1
- (
-
1
2
*
2
5
) =
1
5
;
a
0
3,6
=
1
0
0
1
2
1
-
1
2
1
5
3
5
-
1
5
3
5
-
1
5
-
3
5
-
1
5
2
5
1
5
0
0
1
=
a
0
3,6
*
a
0
2,2
- (
a
0
3,2
*
a
0
2,6
) =
1
*
1
- (
-
1
2
*
0
) =
1
;
پنهان کردن توضیحات
5
تکرار 3
تقسیم سطر
3
بر
-
1
5
;
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
a
0
3,3
=
-
1
5
-
1
5
=
1
;
a
0
3,4
=
-
3
5
-
1
5
=
3
;
a
0
3,5
=
1
5
-
1
5
=
-1
;
a
0
3,6
=
1
-
1
5
=
-5
;
پنهان کردن توضیحات
صفرها را در ستون
3
بدست آورید؛
عنصر با اندیس های
3,3
به عنوان محوری در نظر گرفته می شود؛
سطر حاوی عنصر محوری بدون تغییر باقی می ماند؛
تمام عناصر دیگر ماتریس با استفاده از روش مستطیل نسبت به عنصر محوری یافت می شوند:
ستون حاوی عنصر محوری را صفر کنید:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
a
0
1,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
3
5
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,4
) =
3
5
*
1
- (
1
5
*
3
) =
0
;
a
0
1,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
-
1
5
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,5
) =
-
1
5
*
1
- (
1
5
*
-1
) =
0
;
a
0
1,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
0
0
-5
=
a
0
1,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
1,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
1
5
*
-5
) =
1
;
a
0
2,4
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-
1
5
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,4
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,4
) =
-
1
5
*
1
- (
3
5
*
3
) =
-2
;
a
0
2,5
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
2
5
-1
1
0
-5
=
a
0
2,5
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,5
) =
2
5
*
1
- (
3
5
*
-1
) =
1
;
a
0
2,6
=
1
0
0
0
1
0
1
5
3
5
1
0
-2
3
0
1
-1
1
0
-5
=
a
0
2,6
*
a
0
3,3
- (
a
0
2,3
*
a
0
3,6
) =
0
*
1
- (
3
5
*
-5
) =
3
;
پنهان کردن توضیحات
Answer
B = A⁻¹
0
-2
3
0
1
-1
1
3
-5
اندازه3×3روشگاس-ژوردن

  پرسش‌های متداول

چگونه معکوس یک ماتریس را پیدا می‌کنید؟

دو روش رایج عبارت‌اند از حذف گاوس-جردن — ماتریس را با ماتریس همانی افزوده کرده و سطرها را کاهش می‌دهید تا بلوک چپ به ماتریس همانی تبدیل شود — و روش الحاقی، که ترانهاده ماتریس کوفاکتور را بر دترمینان تقسیم می‌کند.

کدام ماتریس‌ها معکوس دارند؟

فقط ماتریس‌های مربعی با دترمینان غیر صفر (ماتریس‌های نامنفرد) معکوس‌پذیر هستند. اگر دترمینان برابر با 0 باشد، ماتریس معکوسی ندارد.

معکوس یک ماتریس 2×2 چیست؟

برای A = [[a, b], [c, d]]، معکوس برابر است با 1/(ad − bc) × [[d, −b], [−c, a]]، به شرطی که دترمینان ad − bc صفر نباشد.

آیا معکوس یک ماتریس یکتا است؟

بله. اگر یک ماتریس معکوس‌پذیر باشد، معکوس آن یکتا است و در رابطه A·A⁻¹ = A⁻¹·A = I صدق می‌کند، که در آن I ماتریس همانی است.

  روش‌های محاسبه

  ماشین‌حساب‌های مرتبط

  منابع

Google PlayApp Store