Kalkulator macierzy odwrotnej 2×2

  Wzór na macierz odwrotną 2×2

Niech macierz A ma wiersze (a, b) i (c, d). Najpierw oblicz jej wyznacznik det(A) = a·d − b·c. Jeśli wyznacznik jest zerem, macierz nie ma odwrotnej. W przeciwnym razie

A⁻¹ = 1/(a·d − b·c) · [ d −b ; −c a ]

Słowami: zamień miejscami dwa elementy głównej przekątnej, zmień znak dwóch pozostałych elementów i podziel wszystko przez wyznacznik. Macierz z zamienionymi i zanegowanymi elementami to macierz dołączona A, więc jest to ogólny wzór A⁻¹ = adj(A) / det(A) w najmniejszym przypadku.

  Rozwiązany przykład

Weźmy macierz o wierszach (4, 7) i (2, 6). Jej wyznacznik to 4·6 − 7·2 = 24 − 14 = 10, różny od zera, więc odwrotna istnieje.

Zamieniamy 4 i 6 oraz zmieniamy znak 7 i 2. Daje to wiersze (6, −7) i (−2, 4). Dzielimy przez 10: macierz odwrotna ma wiersze (3/5, −7/10) i (−1/5, 2/5).

Sprawdzamy mnożeniem. Pierwszy wiersz A razy pierwsza kolumna odwrotnej to 4·(3/5) + 7·(−1/5) = 12/5 − 7/5 = 1, a pierwszy wiersz razy druga kolumna to 4·(−7/10) + 7·(2/5) = −14/5 + 14/5 = 0. Drugi wiersz tak samo daje 0 i 1, więc iloczyn jest macierzą jednostkową.

  Kiedy macierz 2×2 nie ma odwrotnej

Wzór dzieli przez a·d − b·c, więc zawodzi dokładnie wtedy, gdy wyznacznik jest zerem. Dzieje się tak, gdy jeden wiersz jest wielokrotnością drugiego, jak w wierszach (2, 4) i (1, 2). Taką macierz nazywamy osobliwą, a układ równań liniowych z taką macierzą współczynników nie ma rozwiązań albo ma ich nieskończenie wiele.

Kalkulator powyżej jest ustawiony na 2×2. Zachowuje ułamki dokładnie zamiast zaokrąglać, więc 3/5 pozostaje 3/5, a przyjmuje też liczby zespolone i zmienne.